PDF-версии: 
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через M — середину AB, N — середину BC, и вершину S.
а) Докажите, что прямые MN и SD перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4.
Решение. а) Проекцией SD на плоскость ABCD будет являться прямая BD.
как диагонали квадрата, а 
как средняя линия треугольника ABC. Значит, 
и, по теореме о трех перпендикулярах, 
б) Площадь сечения равна площади треугольника 
Найдем последовательно 
и 
SM и SN — медианы треугольников SAB и SBC соответственно. Так как эти треугольники равнобедренные (поскольку пирамида правильная),
Найдем теперь MN из прямоугольного треугольника 
В нем катеты равны 
Гипотенуза MN, по теореме Пифагора, будет равна 
Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника Для этого проведем высоту SH, которая, по теореме Пифагора, равна 
и вычислим площадь:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |