Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 12 № 130561

Найдите наименьшее значение функции y=(x в степени 2 плюс 28x минус 28)e в степени минус 28 минус x на отрезке  левая квадратная скобка минус 33; минус 23 правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

{y}'=({{x} в степени 2 } плюс 28x минус 28{)}'{{e} в степени минус 28 минус x } плюс ({{x} в степени 2 } плюс 28x минус 28)({{e} в степени минус 28 минус x }{)}'=

 

=(2x плюс 28){{e} в степени минус 28 минус x плюс ({{x} в степени 2 } плюс 28x минус 28){{e} в степени минус 28 минус x } умножить на ( минус 1) = минус ({{x} в степени 2 } плюс 26x минус 56) {{e} в степени минус 28 минус x }.

 

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 

 система выражений  новая строка минус ({{x} в степени 2 } плюс 26x минус 56){{e} в степени минус 28 минус x }=0  новая строка минус 33 меньше или равно x меньше или равно минус 23. конец системы . равносильно система выражений  новая строка {{x} в степени 2 } плюс 26x минус 56=0  новая строка минус 33 меньше или равно x меньше или равно минус 23. конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x=2, x= минус 28, конец системы правая фигурная скобка минус 33 меньше или равно x меньше или равно минус 23 конец совокупности x= минус 28.

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке x= минус 28 заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

 

y( минус 28)=784 минус 28 умножить на 28 минус 28= минус 28.

 

Ответ: −28.

Классификатор базовой части: 3.2.5 Точки экстремума функции, 3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции, 4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков, Наименьшее (наибольшее) значение функции на границе отрезка, Наименьшее (наибольшее) значение функции во внутренней точке отрезка, Наименьшее (наибольшее) значение функции на бесконечном промежутке