Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 11 № 114773

Часы со стрелками показывают 1 час 35 минут. Через сколько минут минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой?

Спрятать решение

Решение.

Пусть в первый раз стрелки встретятся через x часов. За это время часовая стрелка пройдет 1x делений, а минутная 12x делений. В начальный момент времени 1 час 35 минут минутная стрелка не доходит 5 часовых делений до отметки 12 часов ровно, а часовая стрелка находится на отметке  1 дробь, числитель — 35, знаменатель — 60 после отметки 12 часов ровно. Таким образом, расстояние между стрелками составляет 5 плюс 1 дробь, числитель — 35, знаменатель — 60 =6 дробь, числитель — 7, знаменатель — 12 часового деления, откуда

12x минус 1x=6 дробь, числитель — 7, знаменатель — 12 равносильно x= дробь, числитель — 79, знаменатель — 12 умножить на 11 часа.

После первой встречи стрелки должны встретиться еще 9 раз. При движении по кругу в одном направлении время между встречами определяется по формуле t= дробь, числитель — S, знаменатель — \upsilon _1 минус \upsilon _2 , где S — длина круга, в данном случае 12 делений, а \upsilon _1 и \upsilon _2 — скорости движущихся объектов: t= дробь, числитель — 12, знаменатель — 12 минус 1 = дробь, числитель — 12, знаменатель — 11 часа.

Тогда время до момента встречи часовой и минутной стрелок в десятый раз составит

9t плюс x=9 умножить на дробь, числитель — 12, знаменатель — 11 плюс дробь, числитель — 79, знаменатель — 12 умножить на 11 = дробь, числитель — 125, знаменатель — 12 часа,

или  дробь, числитель — 125, знаменатель — 12 умножить на 60=625 минут.

Сделаем проверку: в десятый раз стрелки встретятся в 12 часов ровно, с момента 1 час 35 минут до 12 часов ровно пройдет 10 часов 25 минут, то есть 625 минут.

 

Ответ: 625 минут.

 

Приведем другое решение.

Скорость движения минутной стрелки в 12 раз больше часовой: пока часовая обходит один полный круг, минутная проходит 12 кругов. Поэтому за то время, что минутная стрелка поворачивается на 35 минут, часовая стрелка поворачивается  дробь, числитель — 35, знаменатель — 12 минуты или на  дробь, числитель — 35, знаменатель — 60 = дробь, числитель — 7, знаменатель — { 12} часового деления. Из этого следует, что когда часы показывают 1 час 35 минут между минутной и часовой стрелками шесть полных делений (см. рис.) и еще  дробь, числитель — 7, знаменатель — { 12} деления, всего  дробь, числитель — 79, знаменатель — 12 деления.

До десятой встречи стрелок минутная должна сначала пройти разделяющие их  дробь, числитель — 79, знаменатель — 12 деления, затем 9 раз обойти полный круг, то есть пройти 108 часовых делений, и пройти последние L делений, на которые поворачивается часовая стрелка за время движения минутной. Приравняем время движения часовой и минутной стрелок до их десятой встречи:

 дробь, числитель — L, знаменатель — 1 = дробь, числитель — дробь, числитель — 79, знаменатель — 12 плюс 108 плюс L, знаменатель — { 12} равносильно 12L=L плюс дробь, числитель — 1375, знаменатель — 12 равносильно 11L = 125 равносильно L = дробь, числитель — 125, знаменатель — 11 часа,

что составляет  дробь, числитель — 125, знаменатель — 12 умножить на 60=625 минут.

 

Приведем устное решение.

Ясно, что в первый раз стрелки встретятся между 2 и 3 часами, второй раз — между 3 и 4 часами, ..., десятый — между 11 и 12 часами, то есть ровно в 12 часов. Таким образом, они встретятся ровно через 10 часов 25 минут, что составляет 625 минут.