Пусть в пер­вый раз стрел­ки встре­тят­ся через x часов. За это время ча­со­вая стрел­ка прой­дет де­ле­ний, а ми­нут­ная де­ле­ний. В на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни 1 час 35 минут ми­нут­ная стрел­ка не до­хо­дит 5 ча­со­вых де­ле­ний до от­мет­ки 12 часов ровно, а ча­со­вая стрел­ка на­хо­дит­ся на от­мет­ке после от­мет­ки 12 часов ровно. Таким об­ра­зом, рас­сто­я­ние между стрел­ка­ми со­став­ля­ет ча­со­во­го де­ле­ния, от­ку­да

После пер­вой встре­чи стрел­ки долж­ны встре­тить­ся еще 9 раз. При дви­же­нии по кругу в одном на­прав­ле­нии время между встре­ча­ми опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле где S   — длина круга, в дан­ном слу­чае 12 де­ле­ний, а и   — ско­ро­сти дви­жу­щих­ся объ­ек­тов: часа.

Тогда время до мо­мен­та встре­чи ча­со­вой и ми­нут­ной стре­лок в де­ся­тый раз со­ста­вит

или минут.

Сде­ла­ем про­вер­ку: в де­ся­тый раз стрел­ки встре­тят­ся в 12 часов ровно, с мо­мен­та 1 час 35 минут до 12 часов ровно прой­дет 10 часов 25 минут, то есть 625 минут.

Ответ: 625 минут.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ско­рость дви­же­ния ми­нут­ной стрел­ки в 12 раз боль­ше ча­со­вой: пока ча­со­вая об­хо­дит один пол­ный круг, ми­нут­ная про­хо­дит 12 кру­гов. По­это­му за то время, что ми­нут­ная стрел­ка по­во­ра­чи­ва­ет­ся на 35 минут, ча­со­вая стрел­ка по­во­ра­чи­ва­ет­ся ми­ну­ты или на ча­со­во­го де­ле­ния. Из этого сле­ду­ет, что когда часы по­ка­зы­ва­ют 1 час 35 минут между ми­нут­ной и ча­со­вой стрел­ка­ми шесть пол­ных де­ле­ний (см. рис.) и еще де­ле­ния, всего де­ле­ния.

До де­ся­той встре­чи стре­лок ми­нут­ная долж­на сна­ча­ла прой­ти раз­де­ля­ю­щие их де­ле­ния, затем 9 раз обой­ти пол­ный круг, то есть прой­ти 108 ча­со­вых де­ле­ний, и прой­ти по­след­ние L де­ле­ний, на ко­то­рые по­во­ра­чи­ва­ет­ся ча­со­вая стрел­ка за время дви­же­ния ми­нут­ной. При­рав­ня­ем время дви­же­ния ча­со­вой и ми­нут­ной стре­лок до их де­ся­той встре­чи:

что со­став­ля­ет минут.

При­ве­дем уст­ное ре­ше­ние.

Ясно, что в пер­вый раз стрел­ки встре­тят­ся между 2 и 3 ча­са­ми, вто­рой раз  — между 3 и 4 ча­са­ми, ..., де­ся­тый  — между 11 и 12 ча­са­ми, то есть ровно в 12 часов. Таким об­ра­зом, они встре­тят­ся ровно через 10 часов 25 минут, что со­став­ля­ет 625 минут.