Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

Часы со стрел­ка­ми по­ка­зы­ва­ют 8 часов ровно. Через сколь­ко минут ми­нут­ная стрел­ка в чет­вер­тый раз по­рав­ня­ет­ся с ча­со­вой?

До чет­вер­той встре­чи стре­лок ми­нут­ная долж­на сна­ча­ла прой­ти 8 раз­де­ля­ю­щих их ча­со­вых де­ле­ний (по­сколь­ку часы по­ка­зы­ва­ют 8 часов), затем 3 раза обой­ти пол­ный круг, то есть прой­ти 36 ча­со­вых де­ле­ний, и прой­ти по­след­ние L де­ле­ний, на ко­то­рые по­во­ра­чи­ва­ет­ся ча­со­вая стрел­ка за время дви­же­ния ми­нут­ной. Ско­рость дви­же­ния ми­нут­ной стрел­ки в 12 раз боль­ше ча­со­вой: пока ча­со­вая об­хо­дит один пол­ный круг, ми­нут­ная про­хо­дит 12 кру­гов. При­рав­ня­ем время дви­же­ния ча­со­вой и ми­нут­ной стре­лок до их чет­вер­той встре­чи:

Ча­со­вая стрел­ка прой­дет 4 де­ле­ния, что со­от­вет­ству­ет 4 часам, то есть 240 ми­ну­там.

Ответ: 240.

При­ве­дем ариф­ме­ти­че­ское ре­ше­ние.

Ско­рость ми­нут­ной стрел­ки  — 1 круг в час, а ча­со­вой  — круга в час, по­это­му ско­рость уда­ле­ния или сбли­же­ния стре­лок равна круга в час. Рас­сто­я­ние между стрел­ка­ми, от­счи­ты­ва­е­мое по окруж­но­сти, в на­чаль­ный мо­мент со­став­ля­ет 40 минут или круга. С мо­мен­та пер­вой встре­чи до мо­мен­та четвёртой встре­чи ми­нут­ная стрел­ка долж­на опе­ре­дить ча­со­вую на три круга. Всего круга. По­это­му не­об­хо­ди­мое время равно часа, или 240 минут.

При­ве­дем ко­рот­кое ре­ше­ние.

Ясно, что в пер­вый раз стрел­ки встре­тят­ся между 8 и 9 ча­са­ми, вто­рой раз  — между 9 и 10 ча­са­ми, тре­тий  — между 10 и 11, чет­вер­тый  — между 11 и 12 ча­са­ми, то есть ровно в 12 часов. Таким об­ра­зом, они встре­тят­ся ровно через 4 часа, что со­став­ля­ет 240 минут.

При­ве­дем ре­ше­ние при по­мо­щи гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии (Эмиль Бах­ши­нян).

Ми­нут­ная стрел­ка дви­жет­ся в 12 раз быст­рее, чем ча­со­вая. За то время, пока ми­нут­ная стрел­ка прой­дет 40 минут, ча­со­вая от­да­лит­ся от сво­е­го ис­ход­но­го по­ло­же­ния на ми­ну­ты. Пока ми­нут­ная стрел­ка прой­дет эти ми­ну­ты, ча­со­вая прой­дет в 12 раз мень­ше, то есть ми­ну­ты. Таким об­ра­зом, рас­сто­я­ния в ми­ну­тах между стрел­ка­ми со­став­ля­ют бес­ко­неч­но убы­ва­ю­щую гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном и зна­ме­на­те­лем Зна­чит, время до пер­вой встре­чи стре­лок яв­ля­ет­ся сум­мой этой про­грес­сии:

Ана­ло­гич­но время от мо­мен­та встре­чи стре­лок до каж­дой сле­ду­ю­щей встре­чи есть сумма бес­ко­неч­но убы­ва­ю­щей гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии с пер­вым чле­ном и зна­ме­на­те­лем Время до чет­вер­той встре­чи равно сумме вре­мен до пер­вой встре­чи и до трех сле­ду­ю­щих:

При­ме­ча­ние.

Если бы из­на­чаль­но на часах было, к при­ме­ру, 8 часов 20 минут, пер­вым чле­ном про­грес­сии стало бы (20 + 20/12) ми­ну­ты. Это свя­за­но с тем, что пока ча­со­вая стрел­ка про­хо­ди­ла от 12-го де­ле­ния 20 минут, ча­со­вая стрел­ка сдви­ну­лась от 8-го де­ле­ния на 20/12 ми­ну­ты.

При­ве­дем ре­ше­ние в общем виде.

Ско­рость вра­ще­ния ча­со­вой стрел­ки равна 0,5 гра­ду­са в ми­ну­ту, а ми­нут­ной  — 6 гра­ду­сов в ми­ну­ту. По­это­му когда часы по­ка­зы­ва­ют время h часов m минут ча­со­вая стрел­ка по­вер­ну­та на 30h + 0,5m гра­ду­сов, а ми­нут­ная  — на 6m гра­ду­сов от­но­си­тель­но 12-⁠ча­со­во­го де­ле­ния. Пусть в пер­вый раз стрел­ки встре­тят­ся через t₁ минут. Тогда если ми­нут­ная стрел­ка еще не опе­ре­жа­ла ча­со­вую в те­че­ние те­ку­ще­го часа, то:

В про­ти­во­по­лож­ном слу­чае по­лу­ча­ем урав­не­ние

Пусть во вто­рой раз стрел­ки встре­тят­ся через t₂ минут после пер­во­го, тогда 0,5t₂ = 6t₂ − 360, от­ку­да t₂ = 720/11 (***). Это же верно для каж­до­го сле­ду­ю­ще­го обо­ро­та. По­это­му для встре­чи с но­ме­ром n из (*) и (**) с уче­том (***) имеем со­от­вет­ствен­но: