Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 11 № 114763

 

Часы со стрелками показывают 7 часов 25 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой?

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.


Часы со стрелками показывают 8 часов ровно. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

До четвертой встречи стрелок минутная должна сначала пройти 8 разделяющих их часовых делений (поскольку часы показывают 8 часов), затем 3 раза обойти полный круг, то есть пройти 36 часовых делений, и пройти последние L делений, на которые поворачивается часовая стрелка за время движения минутной. Скорость движения минутной стрелки в 12 раз больше часовой: пока часовая обходит один полный круг, минутная проходит 12 кругов. Приравняем время движения часовой и минутной стрелок до их четвертой встречи:

 дробь, числитель — L, знаменатель — 1 = дробь, числитель — 8 плюс 36 плюс L, знаменатель — 12 равносильно 12L=L плюс 44 равносильно L=4.

Часовая стрелка пройдет 4 деления, что соответствует 4 часам, то есть 240 минутам.

 

Ответ: 240.

 

Приведем арифметическое решение.

Скорость минутной стрелки 1 круг в час, а часовой —  дробь, числитель — 1, знаменатель — { 12} круга в час, поэтому скорость удаления или сближения стрелок равна  дробь, числитель — 11, знаменатель — 12 круга в час. Расстояние между стрелками, отсчитываемое по окружности, в начальный момент составляет 40 минут или  дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 круга. С момента первой встречи до момента четвёртой встречи минутная стрелка должна опередить часовую на три круга. Всего  дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 плюс 3 = дробь, числитель — 11, знаменатель — 3 круга. Поэтому необходимое время равно  дробь, числитель — 11}3 : дробь, числитель — {, знаменатель — 1 1, знаменатель — 12 = 4 часа или 240 минут.

 

Приведем другое решение.

Ясно, что в первый раз стрелки встретятся между 8 и 9 часами, второй раз — между 9 и 10 часами, третий — между 10 и 11, четвертый — между 11 и 12 часами, то есть ровно в 12 часов. Таким образом, они встретятся ровно через 4 часа, что составляет 240 минут.

 

Помещаем решение в общем виде.

Скорость вращения часовой стрелки равна 0,5 градуса в минуту, а минутной — 6 градусов в минуту. Поэтому когда часы показывают время h часов m минут часовая стрелка повернута на 30h + 0,5m градусов, а минутная — на 6m градусов относительно 12-часового деления.

Пусть в первый раз стрелки встретятся через t1 минут. Тогда если минутная стрелка еще не опережала часовую в течение текущего часа, то 6m + 6t1 = 30h + 0,5m + 0,5t1, т. е. t1 = (60h − 11m)/11 (*). В противоположном случае получаем уравнение 6m + 6t1 = 30h + 0,5m + 0,5t1 + 360, откуда t1 = (60h − 11m + 720)/11 (**).

Пусть во второй раз стрелки встретятся через t2 минут после первого, тогда 0,5t2 = 6t2 − 360, откуда t2 = 720/11 (***). Это же верно для каждого следующего оборота.

Поэтому для встречи с номером n из (*) и (**) с учетом (***) имеем соответственно: tn = (60h − 11m + 720(n − 1))/11 или tn = (60h − 11m + 720n − 720)/11.