В таб­ли­це по­ка­за­но рас­пре­де­ле­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны X. Най­ди­те   — ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние этой слу­чай­ной ве­ли­чи­ны.

В таб­ли­це по­ка­за­но ко­ли­че­ство би­ле­тов и воз­мож­ные вы­иг­ры­ши бес­про­иг­рыш­ной де­неж­ной ло­те­реи. Цена би­ле­та ло­те­реи равна 50 руб­лей. Всего би­ле­тов вы­пу­ще­но 1000 штук. Участ­ник по­ку­па­ет один слу­чай­ный билет. На сколь­ко руб­лей цена би­ле­та выше, чем ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние вы­иг­ры­ша?

В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют кофе. Об­слу­жи­ва­ние ав­то­ма­тов про­ис­хо­дит по ве­че­рам после за­кры­тия цен­тра. Ве­ро­ят­ность со­бы­тия «К ве­че­ру в пер­вом ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе» равна 0,2. Ве­ро­ят­ность со­бы­тия «К ве­че­ру в вто­ром ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе» равна 0,6. Счи­тая эти со­бы­тия не­за­ви­си­мы­ми, най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние числа ав­то­ма­тов, в ко­то­рых к ве­че­ру за­кон­чит­ся кофе.

В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют кофе. Об­слу­жи­ва­ние ав­то­ма­тов про­ис­хо­дит по ве­че­рам после за­кры­тия цен­тра. Ве­ро­ят­ность со­бы­тия «К ве­че­ру в пер­вом ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе» равна 0,8. Ве­ро­ят­ность со­бы­тия «К ве­че­ру в вто­ром ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе» равна 0,3. Счи­тая эти со­бы­тия не­за­ви­си­мы­ми, най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние числа ав­то­ма­тов, в ко­то­рых к ве­че­ру оста­нет­ся кофе.

Мо­не­ту под­бра­сы­ва­ют до тех пор, пока орёл не вы­па­дет два раза (не обя­за­тель­но под­ряд). Най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние числа брос­ков.

Мо­не­ту под­бра­сы­ва­ют 6 раз. Най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние ко­ли­че­ства вы­пав­ших орлов.

Иг­раль­ный кубик бро­са­ют до тех пор, пока ше­стер­ка не вы­па­дет два раза, не обя­за­тель­но под­ряд. Най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны «число сде­лан­ных брос­ков».

В кин­дер-сюр­при­зах встре­ча­ют­ся иг­руш­ки из кол­лек­ции бе­ге­мо­тов. Всего в кол­лек­ции 12 раз­лич­ных бе­ге­мо­тов, при­чем все они встре­ча­ют­ся в кин­дер-сюр­при­зах оди­на­ко­во часто. Среди них есть бе­ге­мот в кепке. Пер­во­класс­ник по­ку­па­ет кин­дер-сюр­при­зы, а иг­руш­ки из них кла­дет в ящик стола. Сколь­ко будет куп­ле­но кин­дер-сюр­при­зов к мо­мен­ту, когда в столе ока­жут­ся два оди­на­ко­вых бе­ге­мо­та в кепке? Най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние этой слу­чай­ной ве­ли­чи­ны.

Стре­лок в тире стре­ля­ет по ми­ше­ням. По каж­дой он стре­ля­ет до тех пор, пока не по­ра­зит её. При каж­дом от­дель­ном вы­стре­ле стре­лок по­па­да­ет в ми­шень с ве­ро­ят­но­стью 0,05. Сколь­ко по­тре­бу­ет­ся вы­стре­лов, чтобы по­ра­зить две ми­ше­ни? Най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние этой слу­чай­ной ве­ли­чи­ны.

Сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют до тех пор, пока решка и орёл не вы­па­дут хотя бы по од­но­му разу. Най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны «число сде­лан­ных брос­ков».

Пра­виль­ную иг­раль­ную кость бро­са­ют до тех пор, пока грани с 1, 2, 3 и 4 оч­ка­ми не вы­па­дут хотя бы по од­но­му разу. Най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны «число сде­лан­ных брос­ков».

Слу­чай­ная вы­бор­ка из не­ко­то­рой ге­не­раль­ной со­во­куп­но­сти со­дер­жит пять зна­че­ний:

По этой вы­бор­ке най­ди­те не­сме­щен­ную оцен­ку дис­пер­сии ге­не­раль­ной со­во­куп­но­сти.

На диа­грам­ме Эй­ле­ра схе­ма­ти­че­ски по­ка­зан слу­чай­ный опыт S, с ко­то­рым свя­за­на слу­чай­ная ве­ли­чи­на X. Около каж­до­го эле­мен­тар­но­го со­бы­тия ука­за­на ве­ро­ят­ность этого со­бы­тия и со­от­вет­ству­ю­щее зна­че­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны X.

Най­ди­те ве­ро­ят­ность со­бы­тия

На диа­грам­ме Эй­ле­ра схе­ма­ти­че­ски по­ка­за­ли слу­чай­ный опыт S, с ко­то­рым свя­за­на слу­чай­ная ве­ли­чи­на X. Все эле­мен­тар­ные со­бы­тия рав­но­воз­мож­ны, и около каж­до­го ука­за­но со­от­вет­ству­ю­щее зна­че­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны X.

Най­ди­те ве­ро­ят­ность со­бы­тия

При вы­бо­роч­ном об­сле­до­ва­нии кли­ен­тов сети ав­то­за­пра­воч­ных стан­ций «Ого­нек», 24 из 36 слу­чай­ных ре­спон­ден­тов от­ве­ти­ли «Да» на во­прос, есть ли у них бо­нус­ная карта сети. Най­ди­те ин­тер­валь­ную оцен­ку доли кли­ен­тов, име­ю­щих бо­нус­ную карту, поль­зу­ясь пра­ви­лом «ча­сто­та плюс-⁠минус 2 стан­дарт­ных от­кло­не­ния». В ответ за­пи­ши­те верх­нюю гра­ни­цу до­ве­ри­тель­но­го ин­тер­ва­ла. Ответ округ­ли­те до де­ся­тых.