Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Пусть 
тогда 
Дискриминант полученного уравнения равен 
Уравнение имеет два решения при 
откуда 
или 
При 
уравнение имеет одно решение. При 
уравнение решений не имеет.
Пользуясь введенной заменой, преобразуем исходное уравнение:
При любом значении параметра a полученная совокупность имеет корень 
которому соответствуют два корня исходного уравнения. Тогда линейное уравнение 
должно или не иметь корней, или иметь корень 
или иметь корень принадлежащий интервалу 
Рассмотрим эти три случая.
1 случай. Уравнение не имеет решений при 
2 случай. Уравнение имеет корень 
при
3 случай. При 
уравнение имеет корень 
Тогда этот корень принадлежит интервалу 
при
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при 
Ответ: 
Приведём другое решение.
Пусть 
тогда Дискриминант полученного уравнения равен Уравнение имеет два решения при откуда или При уравнение имеет одно решение. При уравнение решений не имеет. Пользуясь введенной заменой, запишем исходное уравнение в виде
При 
имеем 
то есть 
Следовательно, исходное уравнение имеет два решения. При 
вычислим дискриминант:
откуда получаем корни
Корень t1, дает два решения исходного уравнения. Чтобы оно не имело других решений, корень t2 должен либо совпадать с первым, либо не давать решений. Рассмотрим эти случаи.
Равенство 
достигается, если
Корень t2 не дает решений, если 
Получаем:
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Введем замену 
тогда
Дискриминант полученного уравнения равен t2 − 4. Уравнение имеет два решения при 
откуда 
или 
При 
уравнение имеет единственное решение. При 
уравнение решений не имеет.
Пользуясь введенной заменой, запишем исходное уравнение в виде
При a = 0 имеем: 
откуда 
Следовательно, исходное уравнение имеет два решения.
При a ≠ 0 уравнение является квадратным, его дискриминант равен
а корни равны
Корень 
дает два различных решения исходного уравнения. Чтобы оно не имело других решений, корень 
должен совпадать с числом −3 , либо не должен давать решений.
Если 
то:
Чтобы корень не давал решений, необходимо и достаточно выполнения условия 
Находим:
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Пусть 
тогда:
Проанализируем введенную замену:
Дискриминант полученного уравнения равен 
Уравнение имеет два решения при 
откуда 
или 
При 
уравнение будет иметь одно решение. При 
уравнение решений не имеет.
При любом значении параметра a совокупность (⁎) имеет корень 
которому соответствуют два корня исходного уравнения. Тогда линейное уравнение 
должно или не иметь корней, или иметь корень 
или иметь корень принадлежащий интервалу 
Рассмотрим эти три случая.
1 случай. Уравнение не имеет решений при
2 случай. Уравнение имеет корень 
при
3 случай. При уравнение имеет корень 
Тогда этот корень принадлежит интервалу 
при
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при 
Ответ: 
Приведем аналитическое решение.
Введем замену 
тогда 
Дискриминант полученного уравнения равен t2 − 16. Уравнение имеет два решения при 
откуда 
или 
При 
уравнение будет иметь одно решение. При уравнение решений не имеет.
Исходное уравнение принимает вид 
При a = 0 имеем: 
исходное уравнение имеет два решения. При 
вычислим дискриминант:
Откуда находим корни:
Корень 
дает два решения исходного уравнение. Поэтому либо корень должен совпадать с 
либо корень не должен давать решений. Равенство 
достигается при
Второй корень не дает решений при 
Следовательно,
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Введём вспомогательную переменную 
Учитывая, что 
запишем это равенство в виде 
Дискриминант получившегося квадратного относительно x уравнения равен 
и 
не является корнем этого уравнения ни при каком значении y. Таким образом, значениям 
не соответствуют никакие значения x; каждому из значений 
и 
соответствует единственное значение x; каждому из значений 
и 
соответствуют ровно два различных значения x, причём каждое ненулевое значение x достигается для единственного значения y. Итак, количество корней исходного уравнения зависит от количества корней уравнения 
и их расположения относительно чисел −4 и 4.
При 
уравнение 
принимает вид 
откуда находим 
Значит, удовлетворяет условию задачи.
При 
рассмотрим квадратное уравнение 
Запишем его в виде 
При 
уравнение имеет единственный корень 
значит, удовлетворяет условию задачи.
При 
уравнение имеет два различных корня: −6 и 
В этом случае для выполнения условия задачи должно выполняться двойное неравенство 
следовательно, 
Таким образом, получаем 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Введём вспомогательную переменную Учитывая, что запишем это равенство в виде Дискриминант получившегося квадратного относительно x уравнения равен и не является корнем этого уравнения ни при каком значении y. Таким образом, значениям не соответствуют никакие значения x; каждому из значений и соответствует единственное значение x; каждому из значений и соответствуют ровно два различных значения x, причём каждое ненулевое значение x достигается для единственного значения y. Итак, количество корней исходного уравнения зависит от количества корней уравнения 
и их расположения относительно чисел −4 и 4.
При уравнение 
принимает вид 
откуда находим 
Значит, удовлетворяет условию задачи.
При рассмотрим квадратное уравнение 
Запишем его в виде 
При уравнение имеет единственный корень 
значит, удовлетворяет условию задачи.
При уравнение имеет два различных корня: −8 и 
В этом случае для выполнения условия задачи должно выполняться двойное неравенство 
следовательно, 
Таким образом, получаем 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх