Варианты заданий
Версия для печати и копирования в MS Word1
Грани ABD и ACD тетраэдра ABCD являются правильными треугольниками со стороной 10 и перпендикулярны друг другу. На рёбрах AB, AD и CD отмечены точки K, L и M соответственно, причём BK = 2, AL = 4, MD = 3.
а) Докажите, что плоскость KLM перпендикулярна ребру CD.
б) Найдите длину отрезка пересечения грани ABC и плоскости KLM.
откуда 
по теореме, обратной теореме Пифагора. Тогда, учитывая, что плоскости ACD и ABD перпендикулярны, получаем, что проекция прямой CD на плоскость ABD — это прямая AD, а значит, по теореме о трех перпендикулярах отрезок KL перпендикулярен ребру CD.
Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости плоскость KLM перпендикулярна ребру CD, поскольку отрезок KL перпендикулярен ребру CD и отрезок LM перпендикулярен ребру CD.
а потому 
Пусть теперь отрезок MS пересекает ребро BC в точке P. По теореме Менелая для треугольника BCD находим:
откуда 
Прямая CH перпендикулярна AD и прямая BH перпендикулярна AD, следовательно, угол BCH — это угол между плоскостями ABD и ACD, угол BHC равен 90 градусов. Из прямоугольного треугольника BHC получим 
В прямоугольном треугольнике PMC 
тогда
2
Грани ABD и ACD тетраэдра ABCD являются правильными треугольниками со стороной 3 и перпендикулярны друг другу. На рёбрах 
и CD отмечены точки K, L и M соответственно, причём 
а) Докажите, что плоскость KLM перпендикулярна ребру CD.
б) Найдите длину отрезка пересечения грани ABC с плоскостью KLM.
(рис. 1). Следовательно, 
Аналогично 
Плоскости ACD и ABD перпендикулярны. Следовательно, перпендикулярна плоскости ACD. Прямые KL и ML перпендикулярны прямой CD. Следовательно, прямая CD перпендикулярна плоскости KLM.
Пусть прямые LK и BD пересекаются в точке E (рис. 2), а прямые EM и BC пересекаются в точке N. Треугольник EBK равнобедренный с углом 120° при вершине B, поэтому 
и 
на ребре BD такую, что прямые BN и 
параллельны. Тогда 
