На столе лежит три карточки, на каждой из которых написана одна цифра. Ваня составил из написанных цифр трехзначное число А. Петя выбрал две из этих карточек, составил из написанных на них цифр двузначное число В и вернул карточки на место. Коля тоже выбрал две из этих трех карточек и составил из написанных на них цифр двузначное число С (возможно то же самое, что и Петя).
а) Может ли быть верным равенство A = B + C, если A < 150?
б) Может ли быть верным равенство A = B + C, если числа B и C делятся на 3?
в) Найдите наибольшее число A, для которого может быть верным равенство A = B + C.
и 
Докажем, что это наилучший пример. Если хоть одно из чисел B и C меньше 90, то 
и 
где b и c — цифры. Поскольку 
его последняя цифра равна 
Ясно, что это не 9, поскольку 
то c = 10). Значит, эта цифра в числах B и C не используется. Поэтому 
что тоже невозможно, так как 
На столе лежит три карточки, на каждой из которых написана одна цифра. Ваня составил из написанных цифр трехзначное число А. Петя выбрал две из этих карточек, составил из написанных на них цифр двузначное число В и вернул карточки на место. Коля тоже выбрал две из этих трех карточек и составил из написанных на них цифр двузначное число С (возможно то же самое, что и Петя).
а) Может ли быть верным равенство A = B + C, если A > 150?
б) Может ли быть верным равенство A = B + C, если числа B и C делятся на 9?
в) Найдите наименьшее число A, для которого может быть верным равенство A = B + C.
Докажем, что это наилучший пример. Предположим, что есть число 
Тогда число A начинается с цифры 1, далее идёт цифра 0, а потом цифра 
Чтобы последняя цифра числа А равнялась d, одно из двузначных чисел (B или C) должно заканчиваться на 0, а второе на d. Тогда число 
— противоречие. Значит, число A не может быть меньше 109.