а)  Да, может, на­при­мер, если за­пи­сать числа 4 и 6, их сумма S  =  10, сумма цифр этого числа не­чет­на.

б)  Нет, не может: по­след­няя цифра ис­ко­мой суммы четна, а зна­чит и про­из­ве­де­ние цифр будет четно.

в)  Как было по­ка­за­но в п. б), по­след­няя цифра числа S четна, так что ис­ко­мое про­из­ве­де­ние также четно. Сле­до­ва­тель­но, оно не мень­ше 2. Рас­смот­рим число (365 еди­ниц и одна двой­ка). Оно до­сти­га­ет­ся, если рас­смот­реть, на­при­мер, числа 888...8 (365 вось­ме­рок), 222...2 (365 двоек) и 2.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  2.

а)  Да, может, на­при­мер, если за­пи­сать числа 1, 3, 5 и 7, их сумма S  =  16, сумма цифр этого числа не­чет­на.

б)  Да, может, на­при­мер, если за­пи­сать числа 13, 99 и 999, их сумма S  =  1111, про­из­ве­де­ние цифр этого числа не­чет­но.

в)  Рас­смот­рим числа вида 9, 99, 999, ..., 999...9 (в по­след­нем числе 2020 де­вя­ток). Их сумма равна:

Так как

то

Про­из­ве­де­ние по­лу­чен­но­го цифр 2021-знач­но­го числа равно еди­ни­це, оче­вид­но, это наи­мень­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние.

Ответ: а) да, б) да, в) 1.