а)  Пусть L  — се­ре­ди­на ребра AB. Тре­уголь­ник AMB пря­мо­уголь­ный, по­это­му его ме­ди­а­на  LM равна по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы и равна  LB. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков KLM и KLB сле­ду­ет, что KM  =  KB.

б)  Пусть MH  — вы­со­та в тре­уголь­ни­ке AMB. Пря­мая MH пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мым AB и BB₁, сле­до­ва­тель­но, она пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABB₁ и угол HKM  — ис­ко­мый.

Вы­чис­ляя двумя спо­со­ба­ми пло­щадь тре­уголь­ни­ка AMB, по­лу­чим от­ку­да

По­это­му

тогда

Ответ: б)

а)  Пусть N  — се­ре­ди­на ребра AB, L  — се­ре­ди­на ребра AC. Угол AMN пря­мой, по­сколь­ку от­ре­зок MN па­рал­ле­лен от­рез­ку BL. Таким об­ра­зом, пря­мая NM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC и плос­кость KNM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC, сле­до­ва­тель­но, пря­мая KM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC.

б)  Пусть MH  — вы­со­та в тре­уголь­ни­ке AMB, CE  — вы­со­та в тре­уголь­ни­ке ABC, тогда Пря­мая MH пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мым AB и BB₁, сле­до­ва­тель­но, она пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABB₁ и угол HKM ис­ко­мый. Вы­чис­ляя двумя спо­со­ба­ми пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, по­лу­чим от­ку­да

по­это­му

Ответ: б)

а)  Пусть точка N  — се­ре­ди­на ребра AB, точка L  — се­ре­ди­на ребра AC. Угол AMN пря­мой, по­сколь­ку от­ре­зок MN па­рал­ле­лен от­рез­ку BL. Таким об­ра­зом, пря­мая NM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC и плос­кость KNM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC, сле­до­ва­тель­но, пря­мая KM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC.

б)  Пусть от­ре­зок MH  — вы­со­та в тре­уголь­ни­ке AMB, от­ре­зок CE  — вы­со­та в тре­уголь­ни­ке ABC, тогда Пря­мая MH пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мым AB и BB₁, сле­до­ва­тель­но, она пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABB₁ и угол HKM ис­ко­мый. Вы­чис­ляя двумя спо­со­ба­ми пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, по­лу­чим где

От­сю­да на­хо­дим:

по­это­му

Ответ: б) 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть A - на­ча­ло ко­ор­ди­нат, AC лежит на по­ло­жи­тель­ной по­лу­оси Ox, точка B имеет по­ло­жи­тель­ную ор­ди­на­ту. В этой си­сте­ме ко­ор­ди­нат:

по­сколь­ку B лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к AC, и

Далее, точка се­ре­ди­на :

Точка M лежит на AC и делит его в от­но­ше­нии то есть :

Век­тор :

Век­тор :

Ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние:

Сле­до­ва­тель­но,

Плос­кость со­дер­жит точки Возьмём два на­прав­ля­ю­щих век­то­ра плос­ко­сти:

Нор­маль к плос­ко­сти:

Можно со­кра­тить на

Век­тор Угол между пря­мой KM и плос­ко­стью на­хо­дит­ся по фор­му­ле:

Вы­чис­ля­ем ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние:

Длина :

Длина :

Под­став­ля­ем:

Сле­до­ва­тель­но,

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние.

а)  Пусть  , , .

Точка  K  —  се­ре­ди­на ребра  A₁B₁,  точка  M  делит ребро  AC  в от­но­ше­нии  AM : MC = 1 : 3.

Тогда  

Из усло­вия  AB = BC  имеем    и  

Кроме того, в пря­мой приз­ме    и  .

Вы­чис­лим ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние:

Сле­до­ва­тель­но,  KM AC.

б)  Плос­кость  ABB₁  со­дер­жит век­то­ры    и  .

Нор­маль к плос­ко­сти:  .

Угол    между пря­мой  KM  и плос­ко­стью  ABB₁  на­хо­дит­ся из фор­му­лы

Вы­чис­лим  :

Ис­поль­зу­ем свой­ство сме­шан­но­го про­из­ве­де­ния:  .

В тре­уголь­ни­ке  ABC  из­вест­ны сто­ро­ны:  AB = BC = 9,  AC = 12.

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

Тогда  

Век­тор    пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти ос­но­ва­ния и со­на­прав­лен с    (в дан­ной кон­фи­гу­ра­ции), по­это­му

От­сю­да  

Те­перь найдём  :

Учи­ты­вая  ,  ,   (из тео­ре­мы ко­си­ну­сов:  ), по­лу­ча­ем:

Далее,    (так как  ).

Под­став­ля­ем в фор­му­лу для си­ну­са:

Итак, ис­ко­мый угол равен  .

а)  Пусть точка N  — се­ре­ди­на ребра AB, точка L  — се­ре­ди­на ребра AC. Угол AMN пря­мой, по­сколь­ку от­ре­зок MN па­рал­ле­лен от­рез­ку BL. Таким об­ра­зом, пря­мая NM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC и плос­кость KNM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC, сле­до­ва­тель­но, пря­мая KM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC.

б)  Пусть от­ре­зок MH  — вы­со­та в тре­уголь­ни­ке AMB, от­ре­зок CE  — вы­со­та в тре­уголь­ни­ке ABC, тогда Пря­мая MH пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мым AB и BB₁, сле­до­ва­тель­но, она пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABB₁ и угол HKM ис­ко­мый. Вы­чис­ляя двумя спо­со­ба­ми пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, по­лу­чим от­ку­да

по­это­му

Ответ: б)