В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с равными сторонами AB и BC. Точка K — середина ребра A1B1, а точка M делит ребро AC в отношении AM : MC = 1 : 3.
а) Докажите, что прямая KM перпендикулярна прямой AC.
б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB1, если AB = 6, AC = 8 и AA1 = 3.
а) Пусть N — середина ребра AB, L — середина ребра AC. Угол AMN прямой, поскольку отрезок MN параллелен отрезку BL. Таким образом, прямая NM перпендикулярна прямой AC и плоскость KNM перпендикулярна прямой AC, следовательно, прямая KM перпендикулярна прямой AC.
б) Пусть MH — высота в треугольнике AMB, CE — высота в треугольнике ABC, тогда 
Прямая MH перпендикулярна прямым AB и BB1, следовательно, она перпендикулярна плоскости ABB1 и угол HKM искомый. Вычисляя двумя способами площадь треугольника ABC, получим 
откуда
поэтому
Ответ: б) 