РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Варианты заданий

Последовательность натуральных чисел (a_n) состоит из 400 членов. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое больше предыдущего, либо на 98 меньше предыдущего.

а)  Может ли последовательность (a_n) содержать ровно 5 различных чисел?

б)  Чему может равняться $a_1,$ если $a_100=75?$

в)  Какое наименьшее значение может принимать наибольший член последовательности (a_n)?

Решение. а)  Пусть a  — первое число. Постараемся найти цепочку вида:

$aarrow 2a arrow 4a arrow 8a arrow 8a минус 98 arrow 8a минус 98 минус 98.$

Для зацикливания требуется, чтобы $a=8a минус 196.$ Это уравнение имеет натуральное решение: $a=28.$ Действительно, имеем цепочку, состоящую из пяти чисел:

$28arrow 56 arrow 112 arrow 224 arrow 126 arrow 28 arrow \ldots$

б)  По условию или $a_99= дробь: числитель: a_100, знаменатель: 2 конец дроби ,$ или $a_99=a_100 плюс 98.$ Но $a_100$   — нечетное число, поэтому есть ровно одна возможность: $a_99=75 плюс 98.$ $a_99$   — снова нечетное число, поэтому для $a_98$ снова ровно одна возможность. Так всякий раз будут получаться нечетные числа, поскольку сумма нечетного и четного чисел является нечетным числом. Рассуждая аналогично, получаем: $a_1=75 плюс 98 умножить на 99=9777.$

в)  Заметим, что цепочка $7arrow 14 arrow 28 arrow 56 arrow 112 arrow 14 arrow \ldots$ удовлетворяет условиям. Докажем, что наибольший член последовательности не может быть меньше 112.

Пусть a  — наибольший член последовательности (начиная с момента, когда впервые произошло умножение на 2; заметим, что в нашем случае 98 не может вычитаться дважды подряд). Тогда предыдущее число  — это $дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби .$ Следовательно, a  — четное.

Ясно, что значение 98 и меньше a быть не может, так как это бы означало, что в нашей цепочке, начиная с первого умножения на 2, ни разу не вычиталось 98. Следовательно, с этого момента были только умножения на 2. Но тогда, очевидно, нашелся бы член последовательности, который больше 112. Поэтому достаточно рассмотреть случаи, когда a равно 110, 108, 106, 104, 102, 100.

Переберем эти значения. Рассмотрим момент, когда a появился впервые (очевидно, номер этого члена последовательности заведомо не превзойдет, например, 10). В случае значений a, равных 100, 102, 106, после вычитания 98 (на следующем шаге), мы попадем в элемент цепочки

$2arrow 4 arrow 8 arrow 16 arrow 32 arrow 64 arrow 128 arrow \ldots$

и найдется член, который превзойдет 112 (и будет равен по крайней мере 128).

Значения a, равные 104 и 110, приведут нас в элемент цепочки

$6arrow 12 arrow 24 arrow 48 arrow 96 arrow 192 arrow \ldots$

Значение $a=108$ приведет нас к цепочке

$10arrow 20 arrow 40 arrow 80 arrow 160 arrow \ldots$

и вновь найдется член, который превзойдет 112 (и будет равен по крайней мере 160).

Ответ: а)  да; б)  9777; в)  112.

Примечание.

Как можно было догадаться, что в пункте в) цепочку надо начинать с 7 (или 14)? Кстати, эта цепочка подходит и для пункта а). Дело в том, что в результате наших операций образуются числа вида $2 в степени k умножить на m,$ где m − нечетное число. Это число должно быть больше 98, но не сильно. Можно перебрать маленькие значения k и подобрать m как раз с этим условием ( $2 в степени k умножить на m$ больше 98, но не сильно). Так мы довольно быстро получаем число $112=2 в степени 4 умножить на 7,$ которое хорошо тем, что при вычитании 98 дает 14. Это хорошее число, потому что $14=2 умножить на 7$ и после нескольких умножений на 2 мы вновь попадем в 112. (Например, $13 умножить на 2 в кубе минус 98=104 минус 98=6,$ 6 − это далеко не такое хорошее число, хоть оно и меньше 14, т. к. после серии умножений 6 на 2, наименьшее число, которое будет больше 98, это 192.)

Можно было также думать: $98=14 умножить на 7.$ Следовательно, если начать с 14, то через три операции мы получим $14 умножить на 2 в кубе =14 умножить на 8.$ И при вычитании 98 мы получим $14 умножить на 8 минус 14 умножить на 7,$ т. е. снова 14, а это для нас очень хорошо!

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Последовательность (a_n) состоит из 100 натуральных чисел. Каждый следующий член последовательности, начиная со второго, либо вдвое меньше предыдущего, либо больше него на 90.

а)  Может ли такая последовательность быть образована ровно четырьмя различными числами?

б)  Чему может быть равно а₁₀₀, если a₁  =  89?

в)  Какое наименьшее значение может принимать самое большое из чисел в такой последовательности?

Решение. а)  Например, последовательность 270, 360, 180, 90, 180, 90, ... удовлетворяет условиям задачи и образована ровно четырьмя различными числами.

б)  Заметим, что если в последовательности присутствует нечётное число, то следующее за ним должно быть на 90 больше. Таким образом, если а₁  =  89, то все числа в последовательности нечётные и

$a_100=а_1 плюс 99 умножить на 90 = 89 плюс 99 умножить на 90 = 8999.$

в)  Последовательность 96, 48, 24, 12, 6, 96, 48, 24, 12, 6, ... удовлетворяет условиям задачи, а самое большое число в ней равно 96.

Покажем, что самое большое число в последовательности, удовлетворяющей условиям задачи, не может быть меньше 96. Предположим, что все числа в последовательности меньше 96. Заметим, что если прибавить 90 к числу, не меньшему 6, то получится число, не меньшее 96. Таким образом, в последовательности после каждого числа а, не меньшего 6, следует число $дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби .$

Предположим, что a_i нечётное. Тогда $a_i плюс 2 =a_i плюс 180 больше 96.$ Следовательно, при $i меньше 98$ число a_i чётное.

Рассмотрим наименьшее k, для которого $a_k меньше 6.$ Заметим, что $k\leqslant7,$ поскольку $а_1=2 в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка умножить на a_k.$ Разберём случаи различных значений a_k. Поскольку $k плюс 20 \leqslant27 меньше 98,$ будем рассматривать только случаи, когда числа $a_k,...,a_k плюс 20$ чётные.

Если $a_k = 2,$ получаем $a_k плюс 1=92,$ $a_k плюс 2=46,$ $a_k плюс 3=136.$ То есть в этом случае в последовательности найдётся число, большее 96.

Если $a_k =4,$ то $a_k плюс 1 =2,$ что было разобрано ранее, или получаем $a_k плюс 1 =94,$ $a_k плюс 2=184.$ То есть в этом случае в последовательности найдётся число, большее 96.

Таким образом, самое большое число в последовательности не может быть меньше 96.

Ответ: а) да; б) 8999; в) 96.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Последовательность $левая фигурная скобка a_n правая фигурная скобка$ состоит из 100 натуральных чисел. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое меньше предыдущего, либо больше его на 150.

а)  Может ли такая последовательность быть образована ровно пятью различными числами?

б)  Чему может равняться $a_100,$ если $a_1=75?$

в)  Какое наименьшее значение может принимать самое большое из чисел такой последовательности?

Решение. Будем говорить, что каждый следующий член получается из предыдущего делением на 2 или увеличением на 150.

а)  Да, например, 2400, 1200, 600, 300, 150, 300, 150, 300, ...

б)  Очевидно, что если какой-то член прогрессии нечетен, то его нельзя поделить на 2. Тогда придется для получения следующего члена прибавить 150, и он тоже будет нечетен. Следовательно? при нечетном первом члене все следующие члены будут нечетны и последовательность станет арифметической прогрессией с общим членом $a_100=75 плюс 99 умножить на 150=14925.$

в)  Сразу ясно, что последовательность 160, 80, 40, 20, 10, 160, ... удовлетворяет условию задачи и имеет наибольший член 160, поэтому последовательности, в которых попадаются члены, большие 160, рассматривать не имеет смысла.

Если первый член прогрессии не превосходит 160, то поделить на 2 удастся не более 8 раз. Значит, в первых десяти членах точно случится увеличение на 150. Если после этого получится нечетное число, то дальше придется только прибавлять 150, и самое большое число будет не меньше, чем $1 плюс 150 умножить на 89 больше 160.$

Теперь разберем случаи, начиная с первого прибавления 150. Прибавлять 150 дважды подряд нельзя, поскольку результат будет больше 300. Итак:

           $152\mapsto 76\mapsto 38\mapsto 188 больше 160$

           $152\mapsto 76\mapsto 226 больше 160$

           $154\mapsto 77\mapsto 227 больше 160$

           $156\mapsto 78\mapsto 39\mapsto 189 больше 160$

           $156\mapsto 78\mapsto 38\mapsto 188 больше 160$

           $158\mapsto 79\mapsto 229 больше 160$

Тем самым любое четное число от 152 до 158 приводит к числу, большему 160. Значит, 160 и есть ответ.

Ответ: а) да, б) 14 925, в) 160.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	526221	а)  да; б)  9777; в)  112.
2	527270	а) да; б) 8999; в) 96.
3	539885	а) да, б) 14 925, в) 160.

Ключ