Пусть K(n) обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа n.
а) Существует ли такое трехзначное число n, что K(n) = 171?
б) Существует ли такое трехзначное число n, что K(n) = 172?
в) Какое наименьшее значение может принимать выражение 4K(n) − n, если n — трехзначное число?
где 
— цифры числа 
Поскольку при делении на 
квадраты могут давать остатки только 
или 
то все они должны быть четны. Если поделить их все на 
то получим 
Теперь из тех же соображений все числа нечетны, то есть могут быть равны только 
или 
(цифры больше невозможны, поскольку получались бы из цифр, не меньших 
). Но даже 
) в концах отрезка.
тогда получим 
Пусть K(n) обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа n.
а) Существует ли такое трёхзначное число n, что K(n) = 181?
б) Существует ли такое трёхзначное число n, что K(n) = 180?
в) Какое наименьшее значение может принимать выражение 9K(n) − n, если n — трёхзначное число?
имеем 
то все цифры числа
либо 
Значит, искомого числа n не существует.
где 
и 
где 
и 
соответственно и достигаются при 
и 
Значит, 
имеем 
Следовательно, наименьшее значение, которое может принимать выражение 
если n трёхзначное число, равно −277.Пусть K(n) обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа n.
а) Существует ли такое трёхзначное число n, что K(n) = 179?
б) Существует ли такое трёхзначное число n, что K(n) = 184?
в) Какое наименьшее значение может принимать выражение K(n) − 2n, если n — трёхзначное число?
имеем 
то все цифры числа
и 
где 
и 
Значит, 
имеем 
Следовательно, наименьшее значение, которое может принимать выражение 
если n трёхзначное число, равно −1819.Пусть K(n) обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа n.
а) Существует ли такое трёхзначное число n, что K(n) = 187?
б) Существует ли такое трёхзначное число n, что K(n) = 188?
в) Какое наименьшее значение может принимать выражение 4K(n) − 2n, если n — трёхзначное число?
имеем 
то все цифры числа
и 
где 
и 
имеем 
Следовательно, наименьшее значение, которое может принимать выражение 
если n трёхзначное число, равно −1500.