Пусть K(n) обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа n.
а) Существует ли такое трёхзначное число n, что K(n) = 187?
б) Существует ли такое трёхзначное число n, что K(n) = 188?
в) Какое наименьшее значение может принимать выражение 4K(n) − 2n, если n — трёхзначное число?
а) Такое число существует. Например, для числа 
имеем 
б) Заметим, что для любого целого числа k число k2 либо делится на 4, если k чётно, либо даёт при делении на 4 остаток 1, если k нечётно. Значит, сумма квадратов всех цифр произвольного трёхзначного числа n может делиться на 4, только если квадрат каждой из его цифр делится на 4, то есть когда все его цифры чётны. Следовательно, если 
то все цифры числа
n чётны и либо 
либо 
Значит, искомого числа n не существует.
в) Пусть 
где 
— цифры. Тогда
Наименьшие возможные значения выражений 
и 
где — цифры, равны 322, 12 и 0,52 соответственно и достигаются при 
и 
Значит,
При 
имеем 
Следовательно, наименьшее значение, которое может принимать выражение 
если n трёхзначное число, равно −1500.
Ответ: а) Да; б) нет; в) −1500.