а)  Пусть и Тогда и

б)  Пред­по­ло­жим, что Тогда и где Имеем и По­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие.

в)  При­мер по­сле­до­ва­тель­но­сти 3, 8, 11, 19, 30, 49,... по­ка­зы­ва­ет, что ра­вен­ство может вы­пол­нять­ся при Дей­стви­тель­но, для такой по­сле­до­ва­тель­но­сти вы­пол­не­ны усло­вия за­да­чи и

Пусть и По­ло­жим

Имеем:

по­это­му по­лу­ча­ем, что Сле­до­ва­тель­но, По­лу­чен­ное про­ти­во­ре­чие по­ка­зы­ва­ет, что при ра­вен­ство вы­пол­нять­ся не может.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  при

а)  Пусть и Тогда и

б)  Пред­по­ло­жим, что Тогда и где Имеем:

По­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие.

в)  При­мер по­сле­до­ва­тель­но­сти 3, 3, 6, 9, 15, 24,  ... по­ка­зы­ва­ет, что ра­вен­ство может вы­пол­нять­ся при Дей­стви­тель­но, для такой по­сле­до­ва­тель­но­сти вы­пол­не­ны усло­вия за­да­чи и

Пусть и По­ло­жим тогда и Имеем:

Так как по­лу­ча­ем, что При это не­ра­вен­ство не вы­пол­не­но. По­лу­чен­ное про­ти­во­ре­чие по­ка­зы­ва­ет, что при ра­вен­ство вы­пол­нять­ся не может.

Ответ: а) да; б) нет; в) при

а)  Такое число су­ще­ству­ет. На­при­мер, при n = 16 имеем S(n) = 7 и K(n) = 37 = 2 ∙ 7 + 23.

б)  Пред­по­ло­жим, что такое число су­ще­ству­ет. Тогда если число S(n) чётное, то число K(n) = 3S(n) + 23 нечётное. Если же число S(n) нечётное, то число K(n) = 3S(n) + 23 чётное. С дру­гой сто­ро­ны, любая цифра и её квад­рат имеют оди­на­ко­вую чётность (то есть чётны или нечётны од­но­вре­мен­но). Зна­чит, S(n) и K(n) также имеют оди­на­ко­вую чётность. При­шли к про­ти­во­ре­чию.

в)  Пусть n  — ис­ко­мое число, m  — ко­ли­че­ство всех де­вя­ток в де­ся­тич­ной за­пи­си числа n. Тогда сумма всех от­лич­ных от де­вят­ки цифр числа n равна S(n) – 9m, а сумма их квад­ра­тов не более 8(S(n) – 9m). Зна­чит,

Сле­до­ва­тель­но, m ≥ 10.

По­сколь­ку ис­ко­мое число n яв­ля­ет­ся наи­мень­шим на­ту­раль­ным из удо­вле­тво­ря­ю­щих ра­вен­ству K(n) = 8S(n) + 83, среди его цифр нет нулей (иначе их можно было бы вы­черк­нуть) и все его цифры рас­по­ло­же­ны по воз­рас­та­нию (иначе пе­ре­ста­нов­кой цифр n можно было бы умень­шить). Зна­чит, все де­вят­ки в де­ся­тич­ной за­пи­си числа n стоят в конце.

Из ра­вен­ства K(n) = 8S(n) + 83 сле­ду­ет, что либо S(n), либо K(n) не де­лит­ся на 9 и в числе n есть от­лич­ные от де­вя­ток цифры. По­это­му n ≥ 19 999 999 999. При этом K(19 999 999 999)  =  811  =  8 ∙ 91 + 83  =  8S(19 999 999 999) + 83. Зна­чит, число n = 19 999 999 999 и есть ис­ко­мое.

Ответ: а) да; б) нет; в) 19 999 999 999.

а)  Такое число су­ще­ству­ет. На­при­мер, при n = 34 имеем S(n) = 7 и K(n) = 25 = 2 ∙ 7 + 11.

б)  Пред­по­ло­жим, что такое число су­ще­ству­ет. Тогда если число S(n) чётное, то число K(n) = 3S(n) + 11 нечётное. Если же число S(n) нечётное, то число K(n) = 3S(n) + 11 чётное. С дру­гой сто­ро­ны, любая цифра и её квад­рат имеют оди­на­ко­вую чётность (то есть чётны или нечётны од­но­вре­мен­но). Зна­чит, S(n) и K(n) также имеют оди­на­ко­вую чётность. При­шли к про­ти­во­ре­чию.

в)  Пусть n  — ис­ко­мое число, m  — ко­ли­че­ство всех де­вя­ток в де­ся­тич­ной за­пи­си числа n. Тогда сумма всех от­лич­ных от де­вят­ки цифр числа n равна S(n) – 9m, а сумма их квад­ра­тов не более 8(S(n) – 9m). Зна­чит,

Сле­до­ва­тель­но, m ≥ 9.

По­сколь­ку ис­ко­мое число n яв­ля­ет­ся наи­мень­шим на­ту­раль­ным из удо­вле­тво­ря­ю­щих ра­вен­ству K(n) = 8S(n) + 74, среди его цифр нет нулей (иначе их можно было бы вы­черк­нуть), и все его цифры рас­по­ло­же­ны по воз­рас­та­нию (иначе пе­ре­ста­нов­кой цифр n можно было бы умень­шить). Зна­чит, все де­вят­ки в де­ся­тич­ной за­пи­си числа n стоят в конце.

Из ра­вен­ства K(n) = 8S(n) + 74 сле­ду­ет, что либо S(n), либо K(n) не де­лит­ся на 9 и в числе n есть от­лич­ные от де­вя­ток цифры. По­это­му n ≥ 1 999 999 999. При этом K(1 999 999 999)  =  730  =  8 ∙ 82 + 74  =  8S(1 999 999 999) + 74. Зна­чит, число n = 1 999 999 999 и есть ис­ко­мое.

Ответ: а) да; б) нет; в) 1 999 999 999.