РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Варианты заданий

Последовательность a₁, a₂, ..., a_n, ... состоит из натуральных чисел, причем a_n+2  =  a_n+1 + a_n при всех натуральных n.

а)  Может ли выполняться равенство 4a₅ = 7a₄?

б)  Может ли выполняться равенство 5a₅ = 7a₄?

в)  При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство $6na_n плюс 1= левая круглая скобка n в квадрате плюс 24 правая круглая скобка a_n?$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Последовательность a₁, a₂, ...,a_n,... состоит из натуральных чисел, причем a_n+2  =  a_n+1 + a_n при всех натуральных n.

а)  Может ли выполняться равенство 5a₅ = 9a₄?

б)  Может ли выполняться равенство 5a₅ = 7a₄?

в)  При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство $3na_n плюс 1= левая круглая скобка n в квадрате минус 1 правая круглая скобка a_n?$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Пусть S(n) и K(n) обозначают сумму всех цифр и сумму квадратов всех цифр натурального числа n соответственно.

а)  Существует ли такое натуральное число n, что K(n) = 2S(n) + 23?

б)  Существует ли такое натуральное число n, что K(n) = 3S(n) + 23?

в)  Для какого наименьшего натурального числа n выполнено равенство K(n) = 8S(n) + 83?

Решение. а)  Такое число существует. Например, при n = 16 имеем S(n) = 7 и K(n) = 37 = 2 ∙ 7 + 23.

б)  Предположим, что такое число существует. Тогда если число S(n) чётное, то число K(n) = 3S(n) + 23 нечётное. Если же число S(n) нечётное, то число K(n) = 3S(n) + 23 чётное. С другой стороны, любая цифра и её квадрат имеют одинаковую чётность (то есть чётны или нечётны одновременно). Значит, S(n) и K(n) также имеют одинаковую чётность. Пришли к противоречию.

в)  Пусть n  — искомое число, m  — количество всех девяток в десятичной записи числа n. Тогда сумма всех отличных от девятки цифр числа n равна S(n) – 9m, а сумма их квадратов не более 8(S(n) – 9m). Значит,

8S(n) + 83  =  K(n) ≤ 81m + 8(S(n) – 9m)  =  8S(n) + 9m.

Следовательно, m ≥ 10.

Поскольку искомое число n является наименьшим натуральным из удовлетворяющих равенству K(n) = 8S(n) + 83, среди его цифр нет нулей (иначе их можно было бы вычеркнуть) и все его цифры расположены по возрастанию (иначе перестановкой цифр n можно было бы уменьшить). Значит, все девятки в десятичной записи числа n стоят в конце.

Из равенства K(n) = 8S(n) + 83 следует, что либо S(n), либо K(n) не делится на 9 и в числе n есть отличные от девяток цифры. Поэтому n ≥ 19 999 999 999. При этом K(19 999 999 999)  =  811  =  8 ∙ 91 + 83  =  8S(19 999 999 999) + 83. Значит, число n = 19 999 999 999 и есть искомое.

Ответ: а) да; б) нет; в) 19 999 999 999.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Пусть S(n) и K(n) обозначают сумму всех цифр и сумму квадратов всех цифр натурального числа n соответственно.

а)  Существует ли такое натуральное число n, что K(n) = 2S(n) + 11?

б)  Существует ли такое натуральное число n, что K(n) = 3S(n) + 11?

в)  Для какого наименьшего натурального числа n выполнено равенство K(n) = 8S(n) + 74?

Решение. а)  Такое число существует. Например, при n = 34 имеем S(n) = 7 и K(n) = 25 = 2 ∙ 7 + 11.

б)  Предположим, что такое число существует. Тогда если число S(n) чётное, то число K(n) = 3S(n) + 11 нечётное. Если же число S(n) нечётное, то число K(n) = 3S(n) + 11 чётное. С другой стороны, любая цифра и её квадрат имеют одинаковую чётность (то есть чётны или нечётны одновременно). Значит, S(n) и K(n) также имеют одинаковую чётность. Пришли к противоречию.

8S(n) + 74  =  K(n) ≤ 81m + 8(S(n) – 9m)  =  8S(n) + 9m.

Следовательно, m ≥ 9.

Поскольку искомое число n является наименьшим натуральным из удовлетворяющих равенству K(n) = 8S(n) + 74, среди его цифр нет нулей (иначе их можно было бы вычеркнуть), и все его цифры расположены по возрастанию (иначе перестановкой цифр n можно было бы уменьшить). Значит, все девятки в десятичной записи числа n стоят в конце.

Из равенства K(n) = 8S(n) + 74 следует, что либо S(n), либо K(n) не делится на 9 и в числе n есть отличные от девяток цифры. Поэтому n ≥ 1 999 999 999. При этом K(1 999 999 999)  =  730  =  8 ∙ 82 + 74  =  8S(1 999 999 999) + 74. Значит, число n = 1 999 999 999 и есть искомое.

Ответ: а) да; б) нет; в) 1 999 999 999.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	520501	а)  да; б)  нет; в)  при $n=5.$
2	520521	а) да; б) нет; в) при $n=5.$
3	520664	а) да; б) нет; в) 19 999 999 999.
4	520705	а) да; б) нет; в) 1 999 999 999.

Ключ