Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 19 № 520521
i

По­сле­до­ва­тель­ность a1, a2, ...,an,... со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел, при­чем an+2  =  an+1 + an при всех на­ту­раль­ных n.

а)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство 5a5 = 9a4?

б)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство 5a5 = 7a4?

в)  При каком наи­боль­шем на­ту­раль­ном n может вы­пол­нять­ся ра­вен­ство 3na_n плюс 1= левая круг­лая скоб­ка n в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка a_n?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть a_1=3 и a_2=1. Тогда a_3=3 плюс 1=4, a_4=1 плюс 4=5, a_5=4 плюс 5=9 и 5a_5=9a_4.

б)  Пред­по­ло­жим, что 5a_5=7a_4. Тогда a_5=7a и a_4=5a, где a= дробь: чис­ли­тель: a_5, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби боль­ше 0. Имеем:

a_3=a_5 минус a_4=2a,

a_2=a_4 минус a_3=3a,

a_1=a_3 минус a_2= минус a мень­ше 0.

По­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие.

в)  При­мер по­сле­до­ва­тель­но­сти 3, 3, 6, 9, 15, 24,  ... по­ка­зы­ва­ет, что ра­вен­ство 3na_n плюс 1= левая круг­лая скоб­ка n в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка a_n может вы­пол­нять­ся при n=5. Дей­стви­тель­но, для такой по­сле­до­ва­тель­но­сти вы­пол­не­ны усло­вия за­да­чи и 15a_6=24a_5.

Пусть n\geqslant6 и 3na_n плюс 1= левая круг­лая скоб­ка n в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка a_n. По­ло­жим a= дробь: чис­ли­тель: a_n, зна­ме­на­тель: 3n конец дроби боль­ше 0, тогда a_n=3na и a_n плюс 1= левая круг­лая скоб­ка n в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка a. Имеем:

a_n минус 1=a_n плюс 1 минус a_n= левая круг­лая скоб­ка n в квад­ра­те минус 3n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка a;

a_n минус 2=a_n минус a_n минус 1= левая круг­лая скоб­ка минус n в квад­ра­те плюс 6n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка a;

a_n минус 3=a_n минус 1 минус a_n минус 2= левая круг­лая скоб­ка 2n в квад­ра­те минус 9n минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка a;

a_n минус 4=a_n минус 2 минус a_n минус 3= минус 3 левая круг­лая скоб­ка n в квад­ра­те минус 5n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка a.

Так как a_n минус 4 боль­ше 0, по­лу­ча­ем, что n в квад­ра­те минус 5 n минус 1 мень­ше 0. При n боль­ше или равно 6 это не­ра­вен­ство не вы­пол­не­но. По­лу­чен­ное про­ти­во­ре­чие по­ка­зы­ва­ет, что при n боль­ше или равно 6 ра­вен­ство 3 n a_n плюс 1= левая круг­лая скоб­ка n в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка a_n вы­пол­нять­ся не может.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) при n=5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­ты.4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щий ре­зуль­та­тов:

— обос­но­ван­ное ре­ше­ние в п. а;

— при­мер в п. б;

— ис­ко­мая оцен­ка в п. в;

— при­мер в п. в, обес­пе­чи­ва­ю­щий точ­ность преды­ду­щей оцен­ки.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 520501: 520521 520664 520705 Все

Классификатор алгебры: По­сле­до­ва­тель­но­сти и про­грес­сии
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026