ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 518145 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ — 2017. Вариант 610 (часть 2);

ЕГЭ по математике 20.06.2024. Основная волна, резервный день. Разные города;

Задания 15 ЕГЭ–2024.

Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства рациональные относительно логарифмической функции

Решите неравенство $дробь: числитель: логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 5x минус 27 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка конец дроби \geqslant1.$

Решение.

Знаменатель левой части неравенства определён при $5 меньше x меньше 6$ и $x больше 6.$

При $5 меньше x меньше 6$ знаменатель левой части неравенства отрицателен и неравенство принимает вид:

$логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 5x минус 27 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка ;0 меньше 5x минус 27 меньше или равно x минус 5,$

откуда $дробь: числитель: 27, знаменатель: 5 конец дроби меньше x меньше или равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 2 конец дроби .$

При $x больше 6$ знаменатель левой части неравенства положителен и неравенство принимает вид:

$логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 5x минус 27 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка ;5x минус 27 больше или равно x минус 5,$

откуда $x больше или равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 2 конец дроби .$ В этом случае решение неравенства: $x больше 6.$

Таким образом, решение исходного неравенства:

$дробь: числитель: 27, знаменатель: 5 конец дроби меньше x меньше или равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 2 конец дроби ;x больше 6.$

Приведём другое решение:

Перенесём единицу в левую часть, приведём к общему знаменателю и воспользуемся свойством возрастающей функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию 5 x$ (метод рационализации):

$дробь: числитель: логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 5x минус 27 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 1 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 5x минус 27 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 5x минус 27 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 5 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 5x минус 27 минус левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 5 минус 1 конец дроби больше или равно 0, 5x минус 27 больше 0, x минус 5 больше 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 4x минус 22, знаменатель: x минус 6 конец дроби больше или равно 0, x больше дробь: числитель: 27}5 , x больше 5 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 2 конец дроби , x больше 6 конец системы . x больше дробь: числитель: 27}5 конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: {, знаменатель: 2 конец дроби 7, знаменатель: 5 конец дроби меньше x меньше или равно дробь: числитель: {, знаменатель: 1 конец дроби 1, знаменатель: 2 конец дроби , x больше 6. конец совокупности .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 27, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 11, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ; левая круглая скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка дробь: числитель: 27, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 11, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ; левая круглая скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Аналоги к заданию № 518145: 526704 Все

Источники:

ЕГЭ — 2017. Вариант 610 (часть 2);

ЕГЭ по математике 20.06.2024. Основная волна, резервный день. Разные города;

Задания 15 ЕГЭ–2024.

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · 1 комментарий · Помощь

Тип 15 № 526704 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 24.06.2019. Основная волна, резервный день. Вариант 992 (часть 2);

Задания 15 (С3) ЕГЭ 2019.

Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Метод интервалов, Рационализация неравенств. Логарифмы

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства рациональные относительно логарифмической функции

Решите неравенство $дробь: числитель: логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 3x минус 13 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant1.$

Решение.

Найдем ОДЗ:

$система выражений x больше дробь: числитель: 13, знаменатель: 3 конец дроби ,x больше 4, x не равно 5 конец системы . равносильно система выражений x больше дробь: числитель: 13, знаменатель: 3 конец дроби ,x не равно 5. конец системы .$

Так как

$дробь: числитель: логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 3x минус 13 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка конец дроби = логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 13 правая круглая скобка ,$

то исходное неравенство примет вид $логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 13 правая круглая скобка \geqslant1.$ Решим его методом рационализации.

$левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 13 минус x плюс 4 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно совокупность выражений x\geqslant5,x меньше или равно дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

С учётом ОДЗ получаем ответ $совокупность выражений дробь: числитель: 13, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше или равно дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби ,x больше 5. конец совокупности .$

Ответ: $x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 13, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 518145: 526704 Все

Источники:

ЕГЭ по математике 24.06.2019. Основная волна, резервный день. Вариант 992 (часть 2);

Задания 15 (С3) ЕГЭ 2019.

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе