Урав­не­ние рав­но­силь­но сле­ду­ю­щей си­сте­ме:

Рас­смот­рим пер­вый слу­чай, когда корни сов­па­да­ют: Тогда ко­рень при­над­ле­жит от­рез­ку [4; 8] и удо­вле­тво­ря­ет ОДЗ.

Рас­смот­рим вто­рой слу­чай, когда пер­вый ко­рень при­над­ле­жит от­рез­ку [4; 8] и удо­вле­тво­ря­ет ОДЗ. Тогда урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние на за­дан­ном от­рез­ке, если вто­рой ко­рень не при­над­ле­жит от­рез­ку [4; 8] или не удо­вле­тво­ря­ет ОДЗ. Имеем:

Рас­смот­рим вто­рой слу­чай, когда вто­рой ко­рень при­над­ле­жит от­рез­ку [4; 8] и удо­вле­тво­ря­ет ОДЗ. Тогда урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние на за­дан­ном от­рез­ке, если пер­вый ко­рень не при­над­ле­жит от­рез­ку [4; 8] или не удо­вле­тво­ря­ет ОДЗ. Имеем:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние:

Урав­не­ние рав­но­силь­но сле­ду­ю­щей си­сте­ме:

В плос­ко­сти xOa гра­фи­ком си­сте­мы (а зна­чит, и гра­фи­ком ис­ход­но­го урав­не­ния) будут от­рез­ки пря­мых и ле­жа­щие внут­ри круга, огра­ни­чен­но­го окруж­но­стью

Ре­ше­ние си­сте­мы на от­рез­ке [4; 8] на ри­сун­ке изоб­ра­же­но синим цве­том.

Найдём зна­че­ния па­ра­мет­ра a (зна­че­ния ор­ди­на­ты), при ко­то­рых урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние на от­рез­ке [4; 8].

Для этого найдём ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния пря­мых и

Ор­ди­на­ты точек пе­ре­се­че­ния пря­мой и окруж­но­сти найдём, под­ста­вив в урав­не­ние окруж­но­сти

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет на от­рез­ке [4; 8] ровно один ко­рень при

Ответ:

Ис­ход­ное урав­не­ние рав­но­силь­но урав­не­нию при усло­вии

Изоб­ра­зим мно­же­ство точек, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют дан­ной си­сте­ме не­ра­венств, в ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти Oxa. Урав­не­ние за­да­ет окруж­ность ра­ди­у­са 5 с цен­тром в точке Пря­мая и окруж­ность пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках и Пря­мая и окруж­ность пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках и Не­ра­вен­ству удо­вле­тво­ря­ет, на­при­мер, точка A(5; 0)  — центр окруж­но­сти. Таким об­ра­зом, мно­же­ство точек, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют урав­не­нию, со­сто­ит из дуг BD и CE.

Пря­мая x  =  2 пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точ­ках (2; −4) и (2; 4). Пря­мая x  =  6 пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точ­ках и

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке при и

Ответ: