Ре­ше­ние. а)  Если на доске на­пи­са­но по 15 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2 и на 6, то их сумма окан­чи­ва­ет­ся на 0. Это про­ти­во­ре­чит тому, что сумма 2454.

б)  Пусть на доске ровно одно число, окан­чи­ва­ю­ще­е­ся на 6. Тогда на доске на­пи­са­но 29 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2. Их сумма не мень­ше, чем сумма 29 на­пи­сан­ных чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2: Это про­ти­во­ре­чит тому, что сумма равна 2454.

в)  Пусть на доске n чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 6, и 30 − n, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2. Тогда сумма чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2, не мень­ше суммы

Сумма чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 6, не мень­ше суммы

Таким об­ра­зом, от­ку­да по­сколь­ку

Если на доске 10 чисел, окан­чи­ва­ю­ща­я­ся на 6, и 20 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2, то их сумма окан­чи­ва­ет­ся на 0. Зна­чит, чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 6, боль­ше 10. При­ведём при­мер 11 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 6, и 19 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2, с сум­мой 2454: 6, 16, ..., 86, 96, 196, 2, 12, ..., 172, 182.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  11.

Ре­ше­ние. а)  Если на доске на­пи­са­но по 15 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 4 и на 8, то их сумма окан­чи­ва­ет­ся на 0. Это про­ти­во­ре­чит тому, что сумма 2786.

б)  Пусть на доске ровно 4 числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 8. Тогда на доске на­пи­са­но 26 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 4. Их сумма не мень­ше, чем сумма: Это про­ти­во­ре­чит тому, что сумма равна 2786.

в)  Пусть на доске на­пи­са­но n чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 8, и 30 − n чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 4. Тогда сумма чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 4 не мень­ше суммы:

Сумма чисел окан­чи­ва­ю­щих­ся на 8, не мень­ше суммы:

Таким об­ра­зом, от­ку­да n ≥ 8, так как

Если на доске на­пи­са­но 8 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 8, и 22 числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 4, то их сумма окан­чи­ва­ет­ся на 2. Зна­чит, чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 8, боль­ше 8.

При­ведём при­мер 9 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 8, и 21 число, окан­чи­ва­ю­ще­е­ся на 4, с сум­мой 2786: 8, 18, ..., 78, 258; 4, 14, ..., 204.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 9.

Ре­ше­ние. а)  Если на доске на­пи­са­но по 15 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 3 и на 7, то их сумма окан­чи­ва­ет­ся на 0. Это про­ти­во­ре­чит тому, что сумма 2502.

б)  Пусть на доске ровно два числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 3. Тогда на доске на­пи­са­но 28 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7. Их сумма не мень­ше, чем сумма 28 на­пи­сан­ных чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7: Это про­ти­во­ре­чит тому, что сумма равна 2502.

в)  Пусть на доске n чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 3 и 30 − n, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7. Тогда сумма чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7, не мень­ше суммы

Сумма чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 3, не мень­ше суммы

Таким об­ра­зом, от­ку­да так как

Если на доске 11 чисел, окан­чи­ва­ю­ща­я­ся на 3, и 19 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7, то их сумма окан­чи­ва­ет­ся на 6. Зна­чит, чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 3, боль­ше 11. При­ведём при­мер 12 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 3, и 18 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7, с сум­мой 2502: 3, 13, ..., 83, 93, 103, 263, 7, 17, ..., 167, 177.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 12.

Ре­ше­ние. а)  Если на доске на­пи­са­но по 15 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 4 и на 8, то их сумма окан­чи­ва­ет­ся на 0. Это про­ти­во­ре­чит тому, что сумма 2786.

б)  Пусть на доске ровно че­ты­ре числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 8. Тогда на доске на­пи­са­но 26 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 4. Их сумма не мень­ше, чем сумма 26 на­пи­сан­ных чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 4: Это про­ти­во­ре­чит тому, что сумма равна 2786.

в)  Пусть на доске n чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 8 и 30 − n, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 4. Тогда сумма чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 4, не мень­ше суммы

Сумма чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 8, не мень­ше суммы

Таким об­ра­зом, от­ку­да так как

Если на доске 8 чисел, окан­чи­ва­ю­ща­я­ся на 8, и 22 числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 4, то их сумма окан­чи­ва­ет­ся на 2. Зна­чит, чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 8, боль­ше 8. При­ведём при­мер 9 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 8, и 21 число, окан­чи­ва­ю­ще­е­ся на 4, с сум­мой 2786: 8, 18, ..., 68, 78, 258, 4, 14, ..., 194, 204.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 9.