На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
поэтому если взять по 11 раз числа 16 и 17, то получится подходящий пример:
откуда 
что невозможно — 363 не кратно 9.
поэтому a следует сделать как можно меньше. С другой стороны, 
(поскольку первая цифра числа меньше его последней цифры не более чем 
откуда 
что возможно, например, для трех чисел 19 и семнадцати чисел 18. Новая сумма тогда будет равна 
На листочке написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 1485. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 23 заменили на число 32).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 9 раза меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Тогда 
можно взять 15 чисел 
и 5 чисел 24.
откуда 
что невозможно.
то есть нужно максимизировать 
Очевидно, кроме того, что 
(в каждом числе первая цифра больше последней не более чем в 9 раз), откуда 
и 
Итак, 
и 