На листочке написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 1485. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 23 заменили на число 32).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 9 раза меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Обозначим сумму всех цифр в разряде десятков у наших чисел за A, а сумму цифр в разряде единиц за 
Тогда 
а) Поскольку 
можно взять 15 чисел 
и 5 чисел 24.
б) По условию тогда 
откуда 
что невозможно.
в) Нужно минимизировать выражение 
то есть нужно максимизировать 
Очевидно, кроме того, что 
(в каждом числе первая цифра больше последней не более чем в 9 раз), откуда 
и 
Итак, 
и 
Приведем соответствующий пример. Пусть A = 146, тогда B = 25. В качестве чисел можно взять, например, 16 чисел 91 и число 29.
Приведем пример — что возможно, например, для трех чисел 19 и семнадцати чисел 18. Новая сумма тогда будет равна 396.
Ответ: а) 15 чисел 91 и 5 чисел 24; б) нет; в) 396.