а)  Пе­рельём из по­след­ней бочки в первую 31 литр воды, а из тре­тьей во вто­рую  — 4 литра. Тогда в пер­вой и по­след­ней будет по 60 лит­ров, во вто­рой и тре­тьей  — по 36 лит­ров воды. Пе­рельём те­перь из по­след­ней в тре­тью и из пер­вой во вто­рую по 12 лит­ров воды. По­лу­чим в каж­дой бочке по 48 лит­ров воды, что и тре­бо­ва­лось.

б)  Пусть есть семь бочек, в пер­вых шести из ко­то­рых по од­но­му литру воды, а в по­след­ней  — 8 лит­ров воды. В каж­дой бочке долж­но ока­зать­ся в итоге по 2 литра воды. Сле­до­ва­тель­но, в каж­дую из пер­вых шести бочек надо как ми­ни­мум один раз на­ли­вать воду. Зна­чит, пе­ре­ли­ва­ний долж­но быть не мень­ше шести.

в)  До­ка­жем, что мень­ше чем 25 пе­ре­ли­ва­ний может не хва­тить. Пусть есть 26 бочек, в пер­вых 25 из ко­то­рых по од­но­му литру воды, а в по­след­ней  — 27 лит­ров воды. Тогда, как в пунк­те «б», надо вы­ли­вать воду в каж­дую из пер­вых 25 бочек, сле­до­ва­тель­но, пе­ре­ли­ва­ний долж­но быть не менее 25.

До­ка­жем, что за 25 пе­ре­ли­ва­ний все­гда можно урав­нять ко­ли­че­ство воды во всех боч­ках. Пусть общий объём воды в боч­ках рав­ня­ет­ся 26x лит­ров воды. Так как этот объём при пе­ре­ли­ва­ни­ях не ме­ня­ет­ся, то в каж­дой бочке в итоге долж­но ока­зать­ся ровно x лит­ров воды.

Если во всех боч­ках ровно x лит­ров воды, то пе­ре­ли­ва­ний не тре­бу­ет­ся. Иначе найдётся такая бочка, в ко­то­рой боль­ше чем x лит­ров воды, и такая, в ко­то­рой мень­ше чем x лит­ров воды. Будем пе­ре­ли­вать воду из пер­вой бочки во вто­рую, пока в одной из них не ста­нет ровно x лит­ров воды. После этого пе­ре­ли­ва­ния ко­ли­че­ство бочек, в ко­то­рых ровно x лит­ров воды, уве­ли­чит­ся. Тогда не более чем через 25 таких пе­ре­ли­ва­ний в 25 боч­ках будет ровно x лит­ров воды. Зна­чит, и в остав­шей­ся бочке тоже будет равно x лит­ров воды.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  25.

а)  За одну опе­ра­цию сде­лать это не­воз­мож­но, по­то­му что у двух дис­ков не из­ме­нит­ся объем за­ня­то­го про­стран­ства, а у всех дис­ков он раз­лич­ный. По­ка­жем, как можно урав­нять объ­е­мы дис­ков за две опе­ра­ции. Пе­ре­не­сем сна­ча­ла 4 ТБ со вто­ро­го диска на пер­вый, а затем 2 ТБ с тре­тье­го на чет­вер­тый. В таком слу­чае на каж­дом из дис­ков будет за­ня­то по 74 ТБ.

б)  Пусть на одном диске за­ня­то 10 ТБ, а осталь­ные де­вять пусты. Если каж­дой из опе­ра­ций за­пол­нять не­ко­то­рым объ­е­мом пу­стой диск, то через 6 опе­ра­ций не более 7 дис­ков ока­жут­ся не­пу­сты­ми. Для урав­ни­ва­ния про­стран­ства на 10 дис­ках каж­дый из них дол­жен быть занят.

в)  До­ка­жем, что хва­тит 2025 опе­ра­ций. Пусть сум­мар­ный объем за­ня­то­го про­стран­ства равен  Для каж­дой опе­ра­ции будем вы­би­рать диск, на ко­то­ром за­ня­то боль­ше x ТБ, и диск, на ко­то­ром за­ня­то мень­ше x ТБ, и пе­ре­ме­щать дан­ные с более за­ня­то­го на менее за­ня­тый до тех пор, пока на одном из дис­ков объем не ста­нет равен x ТБ. Таким об­ра­зом, после каж­дой опе­ра­ции ста­но­вит­ся ми­ни­мум на один диск с объ­е­мом, рав­ным x ТБ, боль­ше. Через 2025 таких опе­ра­ций на 2025 дис­ках будет со­от­вет­ствен­но x ТБ дан­ных, а на по­след­нем диске ока­жет­ся  по­это­му все урав­ня­ет­ся.

От­ме­тим, что до мо­мен­та урав­ни­ва­ния объ­е­мов всех дис­ков обя­за­тель­но най­дет­ся диск, на ко­то­ром за­ня­то боль­ше x ТБ, и диск, на ко­то­ром за­ня­то мень­ше x ТБ. Если, ска­жем, диска, на ко­то­ром за­ня­то боль­ше x ТБ, не будет, то сум­мар­ный объем ин­фор­ма­ции будет мень­ше  а это про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  2025.