Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, если были на­пи­са­ны по 10 раз числа 11 и 1 и со всеми про­ве­ли эти дей­ствия, то их сред­нее было равно 6, а после опи­сан­ных дей­ствий оно ста­нет равно 10.

б)  Пусть x ко­ли­че­ство из­на­чаль­но на­пи­сан­ных еди­ниц, ко­то­рые пре­вра­тят­ся в нули, а y  — ко­ли­че­ство про­чих умень­ша­е­мых чисел. Тогда сумма всех чисел равна а сумма всех чисел, кроме бу­ду­щих нулей, равна и их штук.

После опи­сан­ных дей­ствий будет чисел с общей сум­мой Зна­чит,

От­сю­да сле­ду­ет, что Но тогда что не­воз­мож­но.

в)  Обо­зна­чая как в пунк­те б) по­лу­ча­ем, что нужно мак­си­ми­зи­ро­вать зна­че­ние вы­ра­же­ния Оче­вид­но, сле­ду­ет взять и мак­си­ми­зи­ро­вать то есть сле­ду­ет мак­си­ми­зи­ро­вать x.

За­ме­тим од­на­ко, что сумма из­на­чаль­ных чисел не пре­вос­хо­дит от­ку­да Тогда тре­бу­е­мое вы­ра­же­ние будет равно Это воз­мож­но, на­при­мер, для на­бо­ра из шести еди­ниц, числа 14 и три­на­дца­ти чисел по 40, из ко­то­рых умень­ша­ют все еди­ни­цы и толь­ко их, по­лу­чая

Ответ:а)  да; б)  нет; в)  

Ре­ше­ние. а)  Пусть пер­во­на­чаль­но на доске было 14 чисел, рав­ных 7, и одно число, рав­ное 1. Их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно

Пусть число, рав­ное 1, умень­ши­лось на 1 (после чего было стёрто с доски), а осталь­ные числа не из­ме­ни­лись. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся чисел равно

б)  Пусть с доски было стёрто k чисел, сумма осталь­ных чисел до умень­ше­ния была равна S, а после умень­ше­ния стала равна S – n, где n  — ко­ли­че­ство чисел, ко­то­рые были умень­ше­ны на 1, но не были стёрты с доски. По усло­вию то есть Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся чисел равно

тогда по­лу­чим

Из этого ра­вен­ства на­хо­дим Число n лежит в пре­де­лах от 0 до 15, по­это­му 105 + n лежит в пре­де­лах от 105 до 120. В этом про­ме­жут­ке нет целых чисел, де­ля­щих­ся на 31.

в)  Пусть с доски было стёрто k чисел, сумма осталь­ных чисел до умень­ше­ния была равна S, а после умень­ше­ния стала равна По усло­вию то есть Не­об­хо­ди­мо найти наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние числа

Имеем

Число A будет наи­боль­шим, если n  =  0 и число k будет при­ни­мать наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние. Оце­ним это зна­че­ние. Так как каж­дое из пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных на доске чисел было не более 30 и на доске оста­лось 15 – k чисел, для суммы S вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ство

от­ку­да сле­ду­ет, что

Зна­чит,

При­ведём при­мер, по­ка­зы­ва­ю­щий, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел дей­стви­тель­но могло стать рав­ным Пусть пер­во­на­чаль­но на доске было на­пи­са­но 2 еди­ни­цы, 12 чисел, рав­ных 30, и одно число, рав­ное 13. Тогда их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское было равно

Пусть 2 числа, рав­ные еди­ни­це, умень­ши­лись на 1 (после чего были стёрты с доски), а осталь­ные числа не из­ме­ни­лись. Тогда сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся чисел равно

Ответ: а) да; б) нет; в)

Ре­ше­ние. a)  Пусть пер­во­на­чаль­но на доске было 19 чисел, рав­ных 10, и одно число, рав­ное 1. Их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно

Пусть число, рав­ное 1, умень­ши­лось на 1 (после чего было стёрто с доски), а осталь­ные числа не из­ме­ни­лись. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся чисел равно

б)  Пусть с доски было стёрто k чисел, сумма осталь­ных чисел до умень­ше­ния была равна S, а после умень­ше­ния стала равна S – n, где n  — ко­ли­че­ство чисел, ко­то­рые были умень­ше­ны на 1, но не были стёрты с доски. По усло­вию то есть Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся чисел равно

тогда по­лу­чим

Из этого ра­вен­ства на­хо­дим Число n лежит в пре­де­лах от 0 до 20, по­это­му 120 + n лежит в пре­де­лах от 120 до 140. В этом про­ме­жут­ке нет целых чисел, де­ля­щих­ся на 29.

в)  Пусть с доски было стёрто k чисел, сумма осталь­ных чисел до умень­ше­ния была равна S, а после умень­ше­ния стала равна S – n. По усло­вию то есть Не­об­хо­ди­мо найти наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние числа

Имеем

Число A будет наи­боль­шим, если n  =  0 и число k будет при­ни­мать наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние. Оце­ним это зна­че­ние.

Так как каж­дое из пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных на доске чисел было не более 30 и на доске оста­лось 20 – k чисел, для суммы S вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ство

от­ку­да сле­ду­ет, что

Зна­чит,

При­ведём при­мер, по­ка­зы­ва­ю­щий, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел дей­стви­тель­но могло стать рав­ным 29,75. Пусть пер­во­на­чаль­но на доске было на­пи­са­но 4 еди­ни­цы, 15 чисел, рав­ных 30, и одно число, рав­ное 26. Тогда их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское было равно

Пусть 4 числа, рав­ные еди­ни­це, умень­ши­лись на 1 (после чего были стёрты с доски), а осталь­ные числа не из­ме­ни­лись. Тогда сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся чисел равно

Ответ: а) да; б) нет; в) 29,75.

Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

На доске было на­пи­са­но 20 на­ту­раль­ных чисел (не обя­за­тель­но раз­лич­ных), каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 40. Вме­сто не­ко­то­рых из чисел (воз­мож­но, од­но­го) на доске на­пи­са­ли числа, мень­шие пер­во­на­чаль­ных на еди­ни­цу. Числа, ко­то­рые после этого ока­за­лись рав­ны­ми 0, с доски стёрли.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел на доске уве­ли­чи­лось?

б)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 27. Могло ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел ока­зать­ся рав­ным 34?

в)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 27. Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел, ко­то­рые оста­лись на доске.

а)  На­при­мер, если были на­пи­са­ны по 10 раз числа 11 и 1 и со всеми про­ве­ли эти дей­ствия, то их сред­нее было равно 6, а после опи­сан­ных дей­ствий оно ста­нет равно 10.

б)  Пусть x ко­ли­че­ство из­на­чаль­но на­пи­сан­ных еди­ниц, ко­то­рые пре­вра­тят­ся в нули, а y  — ко­ли­че­ство про­чих умень­ша­е­мых чисел. Тогда сумма всех чисел равна а сумма всех чисел, кроме бу­ду­щих нулей, равна и их штук.

После опи­сан­ных дей­ствий будет чисел с общей сум­мой Зна­чит,

От­сю­да сле­ду­ет, что Но тогда что не­воз­мож­но.

в)  Обо­зна­чая как в пунк­те б) по­лу­ча­ем, что нужно мак­си­ми­зи­ро­вать зна­че­ние вы­ра­же­ния Оче­вид­но, сле­ду­ет взять и мак­си­ми­зи­ро­вать то есть сле­ду­ет мак­си­ми­зи­ро­вать x.

За­ме­тим од­на­ко, что сумма из­на­чаль­ных чисел не пре­вос­хо­дит от­ку­да Тогда тре­бу­е­мое вы­ра­же­ние будет равно Это воз­мож­но, на­при­мер, для на­бо­ра из шести еди­ниц, числа 14 и три­на­дца­ти чисел по 40, из ко­то­рых умень­ша­ют все еди­ни­цы и толь­ко их, по­лу­чая

Ответ:а)  да; б)  нет; в)  

Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

На доске было на­пи­са­но 20 на­ту­раль­ных чисел (не обя­за­тель­но раз­лич­ных), каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 40. Вме­сто не­ко­то­рых из чисел (воз­мож­но, од­но­го) на доске на­пи­са­ли числа, мень­шие пер­во­на­чаль­ных на еди­ни­цу. Числа, ко­то­рые после этого ока­за­лись рав­ны­ми 0, с доски стёрли.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел на доске уве­ли­чи­лось?

б)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 27. Могло ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел ока­зать­ся рав­ным 34?

в)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 27. Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел, ко­то­рые оста­лись на доске.

а)  На­при­мер, если были на­пи­са­ны по 10 раз числа 11 и 1 и со всеми про­ве­ли эти дей­ствия, то их сред­нее было равно 6, а после опи­сан­ных дей­ствий оно ста­нет равно 10.

б)  Пусть x ко­ли­че­ство из­на­чаль­но на­пи­сан­ных еди­ниц, ко­то­рые пре­вра­тят­ся в нули, а y  — ко­ли­че­ство про­чих умень­ша­е­мых чисел. Тогда сумма всех чисел равна а сумма всех чисел, кроме бу­ду­щих нулей, равна и их штук.

После опи­сан­ных дей­ствий будет чисел с общей сум­мой Зна­чит,

От­сю­да сле­ду­ет, что Но тогда что не­воз­мож­но.

в)  Обо­зна­чая как в пунк­те б) по­лу­ча­ем, что нужно мак­си­ми­зи­ро­вать зна­че­ние вы­ра­же­ния Оче­вид­но, сле­ду­ет взять и мак­си­ми­зи­ро­вать то есть сле­ду­ет мак­си­ми­зи­ро­вать x.

За­ме­тим од­на­ко, что сумма из­на­чаль­ных чисел не пре­вос­хо­дит от­ку­да Тогда тре­бу­е­мое вы­ра­же­ние будет равно Это воз­мож­но, на­при­мер, для на­бо­ра из шести еди­ниц, числа 14 и три­на­дца­ти чисел по 40, из ко­то­рых умень­ша­ют все еди­ни­цы и толь­ко их, по­лу­чая

Ответ:а)  да; б)  нет; в)  

Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

На доске было на­пи­са­но 20 на­ту­раль­ных чисел (не обя­за­тель­но раз­лич­ных), каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 40. Вме­сто не­ко­то­рых из чисел (воз­мож­но, од­но­го) на доске на­пи­са­ли числа, мень­шие пер­во­на­чаль­ных на еди­ни­цу. Числа, ко­то­рые после этого ока­за­лись рав­ны­ми 0, с доски стёрли.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел на доске уве­ли­чи­лось?

б)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 27. Могло ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел ока­зать­ся рав­ным 34?

в)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 27. Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел, ко­то­рые оста­лись на доске.

а)  На­при­мер, если были на­пи­са­ны по 10 раз числа 11 и 1 и со всеми про­ве­ли эти дей­ствия, то их сред­нее было равно 6, а после опи­сан­ных дей­ствий оно ста­нет равно 10.

б)  Пусть x ко­ли­че­ство из­на­чаль­но на­пи­сан­ных еди­ниц, ко­то­рые пре­вра­тят­ся в нули, а y  — ко­ли­че­ство про­чих умень­ша­е­мых чисел. Тогда сумма всех чисел равна а сумма всех чисел, кроме бу­ду­щих нулей, равна и их штук.

После опи­сан­ных дей­ствий будет чисел с общей сум­мой Зна­чит,

От­сю­да сле­ду­ет, что Но тогда что не­воз­мож­но.

в)  Обо­зна­чая как в пунк­те б) по­лу­ча­ем, что нужно мак­си­ми­зи­ро­вать зна­че­ние вы­ра­же­ния Оче­вид­но, сле­ду­ет взять и мак­си­ми­зи­ро­вать то есть сле­ду­ет мак­си­ми­зи­ро­вать x.

За­ме­тим од­на­ко, что сумма из­на­чаль­ных чисел не пре­вос­хо­дит от­ку­да Тогда тре­бу­е­мое вы­ра­же­ние будет равно Это воз­мож­но, на­при­мер, для на­бо­ра из шести еди­ниц, числа 14 и три­на­дца­ти чисел по 40, из ко­то­рых умень­ша­ют все еди­ни­цы и толь­ко их, по­лу­чая

Ответ:а)  да; б)  нет; в)