а)  Про­ведём ме­ди­а­ну S₁M тре­уголь­ни­ка SS₁B, ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок BB₁, яв­ля­ю­щий­ся ме­ди­а­ной тре­уголь­ни­ка BCD, в точке T. Тогда ВТ : ТВ₁  =  4 : 5, по­сколь­ку T  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка SS₁B, а O  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка BCD.

Точка L, в свою оче­редь, делит от­ре­зок B₁D в от­но­ше­нии DL : LВ₁  =  4 : 5, так как LD : LC  =  2 : 7, а BB₁  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка BCD.

Сле­до­ва­тель­но, сто­ро­на се­че­ния, про­хо­дя­щая через точки L и T, па­рал­лель­на сто­ро­не BD ос­но­ва­ния BCD. Пусть пря­мая LT пе­ре­се­ка­ет BC в точке P.

Про­ведём в тре­уголь­ни­ке SBD через точку M сред­нюю линию, пусть она пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну SD в точке K. Тогда PMKL  — ис­ко­мое се­че­ние, причём BP  =  DL и BM  =  KD. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков BMP и DKL по­лу­чим MP  =  KL, а зна­чит, PMKL  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б)  Боль­шее ос­но­ва­ние PL тра­пе­ции равно 7, по­сколь­ку тре­уголь­ник LPC пра­виль­ный. Вто­рое ос­но­ва­ние MK равно 4,5, по­сколь­ку MK  — сред­няя линия пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка SBD. Сле­до­ва­тель­но, сред­няя линия тра­пе­ции равна

Ответ: 5,75.

Про­ведём ме­ди­а­ну S₁M тре­уголь­ни­ка SS₁B, ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет ме­ди­а­ну BB₁ ос­но­ва­ния BCD в точке T. Тогда ВТ : ТВ₁  =  4 : 5, по­сколь­ку BB₁ также яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной тре­уголь­ни­ка SS₁B.

Точка L, в свою оче­редь, делит от­ре­зок B₁D в от­но­ше­нии DL : LВ₁  =  4 : 5, так как LD : LC  =  2 : 7 и от­ре­зок BB₁  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка BCD.

Сле­до­ва­тель­но, сто­ро­на се­че­ния, про­хо­дя­щая через точки L и T, па­рал­лель­на сто­ро­не BD ос­но­ва­ния BCD. Пусть пря­мая LT пе­ре­се­ка­ет BC в точке P.

Про­ведём через точку M сред­нюю линию в тре­уголь­ни­ке SBD, пусть она пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну SD в точке K. Тогда PMKL  — ис­ко­мое се­че­ние, причём BP  =  DL и BM  =  KD. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков BMP и DKL по­лу­чим MP  =  KL, а зна­чит, PMKL  — рав­но­бо­кая тра­пе­ция.

б)  Боль­шее ос­но­ва­ние PL тра­пе­ции равно 14, по­сколь­ку тре­уголь­ник LPC пра­виль­ный. Вто­рое ос­но­ва­ние MK равно 9, по­сколь­ку MK  — сред­няя линия пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка SBD. Сле­до­ва­тель­но, сред­няя линия тра­пе­ции равна

Ответ: 11,5.

Пря­мая S₁M пе­ре­се­ка­ет ме­ди­а­ну AO тре­уголь­ни­ка ABD в точке T так, что АТ : TO  =  2 : 1, по­сколь­ку T  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка SAS₁ и O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ос­но­ва­ния ABCD, так как пи­ра­ми­да SABCD пра­виль­ная.

Сле­до­ва­тель­но, AT : TC  =  1 : 2. Точка L делит от­ре­зок BC в от­но­ше­нии BL : LC  =  1 : 2, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки ACB и TCL по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия k  =  AC : TC  =  BC : CL  =  3 : 2, так как они имеют общий угол с вер­ши­ной C и сто­ро­ны AC и BC в тре­уголь­ни­ке ABC про­пор­ци­о­наль­ны сто­ро­нам TC и LC тре­уголь­ни­ка TCL, за­клю­ча­ю­щим тот же угол. Зна­чит, сто­ро­на се­че­ния, про­хо­дя­щая через точки L и T, па­рал­лель­на сто­ро­не AB ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды SABCD. Пусть эта сто­ро­на се­че­ния пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD в точке P.

Сто­ро­на се­че­ния, про­хо­дя­щая через точку M в плос­ко­сти SAB, па­рал­лель­на пря­мой AB, так как плос­кость S₁LM пе­ре­се­ка­ет плос­кость SAB и про­хо­дит через пря­мую PL, па­рал­лель­ную плос­ко­сти SAB. Пусть эта сто­ро­на се­че­ния пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну SB в точке K. Тогда се­че­ние PMKL  — рав­но­бо­кая тра­пе­ция, по­сколь­ку AP  =  BL и AM  =  BK.

Боль­шее ос­но­ва­ние LP тра­пе­ции равно 6, по­сколь­ку ABCD  — квад­рат. Вто­рое ос­но­ва­ние MK тра­пе­ции равно 3, по­сколь­ку MK  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SAB. Зна­чит, сред­няя линия тра­пе­ции равна

Ответ: б) 4,5.

Пря­мая S₁M пе­ре­се­ка­ет ме­ди­а­ну AO тре­уголь­ни­ка ABD в точке T так, что АТ : TO  =  2 : 1, по­сколь­ку T  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка SAS₁ и O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ос­но­ва­ния ABCD, так как пи­ра­ми­да SABCD пра­виль­ная.

Сле­до­ва­тель­но, AT : TC  =  1 : 2. Точка L делит от­ре­зок BC в от­но­ше­нии BL : LC  =  1 : 2, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки ACB и TCL по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия k  =  AC : TC  =  BC : CL  =  3 : 2, так как они имеют общий угол с вер­ши­ной C и сто­ро­ны AC и BC в тре­уголь­ни­ке ABC про­пор­ци­о­наль­ны сто­ро­нам TC и LC тре­уголь­ни­ка TCL, за­клю­ча­ю­щим тот же угол. Зна­чит, сто­ро­на се­че­ния, про­хо­дя­щая через точки L и T, па­рал­лель­на сто­ро­не AB ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды SABCD. Пусть эта сто­ро­на се­че­ния пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD в точке P.

Сто­ро­на се­че­ния, про­хо­дя­щая через точку M в плос­ко­сти SAB, па­рал­лель­на пря­мой AB, так как плос­кость S₁LM пе­ре­се­ка­ет плос­кость SAB и про­хо­дит через пря­мую PL, па­рал­лель­ную плос­ко­сти SAB. Пусть эта сто­ро­на се­че­ния пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну SB в точке K. Тогда се­че­ние PMKL  — рав­но­бо­кая тра­пе­ция, по­сколь­ку AP  =  BL и AM  =  BK.

Боль­шее ос­но­ва­ние LP тра­пе­ции равно 12, по­сколь­ку ABCD  — квад­рат. Вто­рое ос­но­ва­ние MK тра­пе­ции равно 6, по­сколь­ку MK  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SAB. Зна­чит, сред­няя линия тра­пе­ции равна

Ответ: б) 9.