СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



О ПОЛОМКЕ И ВОССТАНОВЛЕННОЙ КОПИИ РЕШУ ЕГЭ

Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 512399

Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 18.

Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1, M — середина ребра SB , точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7 : 2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S1LM — равнобокая трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

Решение.

Проведём медиану S1M треугольника SS1B, которая пересекает медиану BB1 основания BCD в точке T. Тогда ВТ : ТВ1 = 4 : 5, поскольку BB1 также является медианой треугольника SS1B.

Точка L, в свою очередь, делит отрезок B1D в отношении DL : 1 = 4 : 5, так как LD : LC = 2 : 7 и отрезок BB1 — медиана треугольника BCD.

Следовательно, сторона сечения, проходящая через точки L и T, параллельна стороне BD основания BCD. Пусть прямая LT пересекает BC в точке P.

Проведём через точку M среднюю линию в треугольнике SBD, пусть она пересекает сторону SD в точке K. Тогда PMKL — искомое сечение, причём BP = DL и BM = KD. Из равенства треугольников BMP и DKL получим MP = KL, а значит, PMKL — равнобокая трапеция.

б) Большее основание PL трапеции равно 14, поскольку треугольник LPC правильный. Второе основание MK равно 9, поскольку MK — средняя линия правильного треугольника SBD. Следовательно, средняя линия трапеции равна

 

Ответ: 11,5.


Аналоги к заданию № 512357: 513347 512399 513366 Все