РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Варианты заданий

Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 9.

Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS₁, M  — середина ребра SB , точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD  =  7 : 2.

а)  Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S₁LM  — равнобедренная трапеция.

б)  Вычислите длину средней линии этой трапеции.

Решение. а)  Проведём медиану S₁M треугольника SS₁B, которая пересекает отрезок BB₁, являющийся медианой треугольника BCD, в точке T. Тогда ВТ : ТВ₁  =  4 : 5, поскольку T  — точка пересечения медиан треугольника SS₁B, а O  — точка пересечения медиан треугольника BCD.

Точка L, в свою очередь, делит отрезок B₁D в отношении DL : LВ₁  =  4 : 5, так как LD : LC  =  2 : 7, а BB₁  — медиана треугольника BCD.

Следовательно, сторона сечения, проходящая через точки L и T, параллельна стороне BD основания BCD. Пусть прямая LT пересекает BC в точке P.

Проведём в треугольнике SBD через точку M среднюю линию, пусть она пересекает сторону SD в точке K. Тогда PMKL  — искомое сечение, причём BP  =  DL и BM  =  KD. Из равенства треугольников BMP и DKL получим MP  =  KL, а значит, PMKL  — равнобедренная трапеция.

б)  Большее основание PL трапеции равно 7, поскольку треугольник LPC правильный. Второе основание MK равно 4,5, поскольку MK  — средняя линия правильного треугольника SBD. Следовательно, средняя линия трапеции равна $дробь: числитель: 7 плюс 4,5, знаменатель: 2 конец дроби =5,75.$

Ответ: 5,75.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 18.

а)  Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S₁LM  — равнобокая трапеция.

б)  Вычислите длину средней линии этой трапеции.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S равны 6. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS₁, M  — середина ребра AS, точка L лежит на ребре BC так, что BL : LC  =  1 : 2.

а)  Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью S₁LM  — равнобокая трапеция.

б)  Вычислите длину средней линии этой трапеции.

Решение. Прямая S₁M пересекает медиану AO треугольника ABD в точке T так, что АТ : TO  =  2 : 1, поскольку T  — точка пересечения медиан треугольника SAS₁ и O  — точка пересечения диагоналей основания ABCD, так как пирамида SABCD правильная.

Следовательно, AT : TC  =  1 : 2. Точка L делит отрезок BC в отношении BL : LC  =  1 : 2, следовательно, треугольники ACB и TCL подобны с коэффициентом подобия k  =  AC : TC  =  BC : CL  =  3 : 2, так как они имеют общий угол с вершиной C и стороны AC и BC в треугольнике ABC пропорциональны сторонам TC и LC треугольника TCL, заключающим тот же угол. Значит, сторона сечения, проходящая через точки L и T, параллельна стороне AB основания пирамиды SABCD. Пусть эта сторона сечения пересекает сторону AD в точке P.

Сторона сечения, проходящая через точку M в плоскости SAB, параллельна прямой AB, так как плоскость S₁LM пересекает плоскость SAB и проходит через прямую PL, параллельную плоскости SAB. Пусть эта сторона сечения пересекает сторону SB в точке K. Тогда сечение PMKL  — равнобокая трапеция, поскольку AP  =  BL и AM  =  BK.

Большее основание LP трапеции равно 6, поскольку ABCD  — квадрат. Второе основание MK трапеции равно 3, поскольку MK  — средняя линия треугольника SAB. Значит, средняя линия трапеции равна $дробь: числитель: 3 плюс 6, знаменатель: 2 конец дроби =4,5.$

Ответ: б) 4,5.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S равны 12. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS₁, M  — середина ребра AS, точка L лежит на ребре BC так, что BL : LC  =  1 : 2.

а)  Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью S₁LM  — равнобокая трапеция.

б)  Вычислите длину средней линии этой трапеции.

Большее основание LP трапеции равно 12, поскольку ABCD  — квадрат. Второе основание MK трапеции равно 6, поскольку MK  — средняя линия треугольника SAB. Значит, средняя линия трапеции равна $дробь: числитель: 6 плюс 12, знаменатель: 2 конец дроби =9.$

Ответ: б) 9.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	512357	5,75.
2	512399	11,5.
3	513347	б) 4,5.
4	513366	б) 9.

Ключ