СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 513347

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S равны 6. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1, M — середина ребра AS, точка L лежит на ребре BC так, что BL : LC = 1 : 2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью S1LM — равнобокая трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

Решение.

Прямая S1M пересекает медиану AO треугольника ABD в точке T так, что АТ : TO = 2 : 1, поскольку T — точка пересечения медиан треугольника SAS1 и O — точка пересечения диагоналей основания ABCD, так как пирамида SABCD правильная.

Следовательно, AT : TC = 1 : 2. Точка L делит отрезок BC в отношении BL : LC = 1 : 2, следовательно, треугольники ACB и TCL подобны с коэффициентом подобия k = AC : TC = BC : CL = 3 : 2, так как они имеют общий угол с вершиной C и стороны AC и BC в треугольнике ABC пропорциональны сторонам TC и LC треугольника TCL, заключающим тот же угол. Значит, сторона сечения, проходящая через точки L и T, параллельна стороне AB основания пирамиды SABCD. Пусть эта сторона сечения пересекает сторону AD в точке P.

Сторона сечения, проходящая через точку M в плоскости SAB, параллельна прямой AB, так как плоскость S1LM пересекает плоскость SAB и проходит через прямую PL, параллельную плоскости SAB. Пусть эта сторона сечения пересекает сторону SB в точке K. Тогда сечение PMKL — равнобокая трапеция, поскольку AP = BL и AM = BK.

Большее основание LP трапеции равно 6, поскольку ABCD — квадрат. Второе основание MK трапеции равно 3, поскольку MK — средняя линия треугольника SAB. Значит, средняя линия трапеции равна

 

Ответ: б) 4,5.


Аналоги к заданию № 512357: 513347 512399 513366 Все

Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Правильная четырёхугольная пирамида, Сечение — трапеция, Сечение, проходящее через три точки