ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д8 C1 № 508160 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 97

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

Дано уравнение $дробь: числитель: 1 минус косинус 2x минус синус x, знаменатель: косинус x минус 1 конец дроби =0.$

а)  Решите уравнение.

б)  Укажите его корни, принадлежащие интервалу $левая круглая скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;5 Пи правая круглая скобка .$

Решение.

а)  Последовательно получаем:

$дробь: числитель: 1 минус косинус 2x минус синус x, знаменатель: косинус x минус 1 конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: 2 синус в квадрате x минус синус x, знаменатель: косинус x минус 1 конец дроби =0 равносильно система выражений новая строка синус x умножить на левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка , новая строка косинус x не равно 1 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений совокупность выражений синус x = 0, синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . косинус x не равно 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z. конец совокупности .$

б)  Отбор корней произведем с помощью единичной окружности.

$x_1= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;x_2=3 Пи ;x_3=4 Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 25 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; x_4=5 Пи минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 29 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$ $x_1= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;x_2=3 Пи ;x_3=$
$=4 Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 25 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; x_4=5 Пи минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 29 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z; левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи nn принадлежит Z.$ б) $дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;3 Пи ; дробь: числитель: 25 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 29 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 508160: 514051 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 97

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип Д8 C1 № 514051 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 152

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

Дано уравнение $дробь: числитель: 1 плюс корень из 2 синус x минус косинус 2x, знаменатель: \ctg x минус 1 конец дроби =0.$

а)  Решите уравнение.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 3 Пи правая квадратная скобка .$

Решение.

Сразу заметим, что $\ctg x не равно 1,$ $x не равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,$ $x не равно Пи k$ (иначе котангенс вообще не определен).

а)  Преобразуем числитель и приравняем его к нулю.

$корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x плюс 2 синус в квадрате x=0;$ $синус x=0$ или $синус x= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

$x= Пи k$ (невозможно), $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,$ $x= минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k$ (невозможно).

Итак, $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k.$

б)  На указанном промежутке лежит точка $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус 4 Пи .$

Ответ: а) $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k;$ б) $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус 4 Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 508160: 514051 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 152

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе