ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д12 C3 № 508123 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 91

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $\log _2 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка умножить на \log _x плюс 1 дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби больше или равно минус 6.$

Решение.

Найдем ограничения на x.

$система выражений новая строка 5 минус x больше 0 , новая строка x плюс 1 больше 0 , новая строка x не равно 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка x меньше 5 , новая строка x больше минус 1 , новая строка x не равно 0 . конец системы .$

Для таких x:

$\log _2 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка умножить на \log _ левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби больше или равно минус 6 равносильно \log _2 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус 3\log _x плюс 12 правая круглая скобка больше или равно минус 6 равносильно \log _2 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка умножить на \log _x плюс 12 меньше или равно 2 равносильно$ $\log _2 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка умножить на \log _ левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби больше или равно минус 6 равносильно$
$равносильно \log _2 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус 3\log _x плюс 12 правая круглая скобка больше или равно минус 6 равносильно \log _2 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка умножить на \log _x плюс 12 меньше или равно 2 равносильно$ $\log _2 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка умножить на \log _ левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби больше или равно минус 6 равносильно$
$равносильно \log _2 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус 3\log _x плюс 12 правая круглая скобка больше или равно минус 6 равносильно$
$равносильно \log _2 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка умножить на \log _x плюс 12 меньше или равно 2 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка , знаменатель: \log _2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 2 равносильно \log _x плюс 1 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка меньше или равно \log _x плюс 1 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате равносильно левая круглая скобка x плюс 1 минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 5 минус x минус x в квадрате минус 2x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$ $равносильно дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка , знаменатель: \log _2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 2 равносильно \log _x плюс 1 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка меньше или равно \log _x плюс 1 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x плюс 1 минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 5 минус x минус x в квадрате минус 2x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$ $равносильно дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка , знаменатель: \log _2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 2 равносильно$
$равносильно \log _x плюс 1 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка меньше или равно \log _x плюс 1 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x плюс 1 минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 5 минус x минус x в квадрате минус 2x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$

$x умножить на левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно x умножить на левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0.$

Решим последнее неравенство методом интервалов.

Интервалы	$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 4 правая круглая скобка$	$левая круглая скобка минус 4;0 правая круглая скобка$	$левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка$	$левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка$
Знак выражения	−	+	−	+

С учетом ограничений на x получим: $левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 1;5 правая круглая скобка .$

Несколько иной подход к решению этого же неравенства:

$дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка , знаменатель: \log _2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 2 равносильно \log _x плюс 1 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка меньше или равно 2 равносильно система выражений новая строка 5 минус x больше 0 , новая строка 0 меньше x плюс 1 меньше 1 , новая строка x в квадрате плюс 2x плюс 1 меньше или равно 5 минус x конец системы .$

или $система выражений новая строка 5 минус x больше 0 , новая строка x плюс 1 больше 1 , новая строка x в квадрате плюс 2x плюс 1 больше или равно 5 минус x конец системы . равносильно система выражений новая строка x меньше 5 , новая строка минус 1 меньше x меньше 0 , новая строка x в квадрате плюс 3x минус 4 меньше или равно 0 конец системы .$

или $система выражений новая строка x меньше 5 , новая строка x больше 0 , новая строка x в квадрате плюс 3x минус 4 больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка минус 1 меньше x меньше 0 , новая строка минус 4 меньше или равно x меньше или равно 1 конец системы .$

или $система выражений новая строка 0 меньше x меньше 5, новая строка совокупность выражений новая строка x меньше или равно минус 4,x больше или равно 1 конец системы . конец совокупности . равносильно минус 1 меньше x меньше 0$

или $1 меньше или равно x меньше 5.$

Ответ: $левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 1;5 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 508123: 508174 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 91

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип Д12 C3 № 508174 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 99

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.9 Метод интервалов;

2.2.4 Логарифмические неравенства.

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $\log _2x левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка умножить на \log _x минус 1 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка меньше 0.$

Решение.

а)  Решим неравенство методом рационализации.

Ограничения на x очевидны: $4 меньше x меньше 6.$ Для таких х:

$\log _2x левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка умножить на \log _x минус 1 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка меньше 0 равносильно дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: \log _2 левая круглая скобка 2x правая круглая скобка конец дроби умножить на дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка , знаменатель: \log _2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус \log _21, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус \log _21 конец дроби умножить на дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка минус \log _21, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус \log _21 конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 4 минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 6 минус x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 1 минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$ $равносильно дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус \log _21, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус \log _21 конец дроби умножить на дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка минус \log _21, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус \log _21 конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 4 минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 6 минус x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 1 минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус x плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка конец дроби больше 0.$

Но на $левая круглая скобка 4;6 правая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби больше 0,x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби больше 0,$ следовательно, на $левая круглая скобка 4;6 правая круглая скобка :$

$дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате больше 0 равносильно x не равно 5.$

Отсюда вывод: искомыми значениями переменной х являются элементы множества $левая круглая скобка 4;5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5;6 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка 4;5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5;6 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Ответ: $левая круглая скобка 4;5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5;6 правая круглая скобка .$

Аналоги к заданию № 508123: 508174 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 99

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе