ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д8 C1 № 506068 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 38

Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения смешанного типа

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x минус корень из: начало аргумента: 2 плюс косинус x конец аргумента =0.$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$

Решение.

а)  Заметим, что $корень из: начало аргумента: 2 плюс косинус x конец аргумента больше 0$ для любого $x принадлежит R ,$ так как $минус 1 меньше или равно косинус x меньше или равно 1$ Из условия, что $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x= корень из: начало аргумента: 2 плюс косинус x конец аргумента ,$ Также следует, что $синус x больше 0$ Значит,

$2 синус в квадрате x=2 плюс косинус x равносильно 2 минус 2 косинус x=2 плюс косинус x равносильно 2 косинус в квадрате x плюс косинус x=0 равносильно$

$косинус x умножить на левая круглая скобка 2 косинус x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений новая строка косинус x=0, новая строка косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z новая строка x= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z конец совокупности ..$

Учитывая, что $синус x больше 0,$ получим, что уравнению удовлетворяют корни: $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n,x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$

б)   $x_1= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $x_2= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 506068: 508142 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 38

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип Д8 C1 № 508142 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 94

Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения смешанного типа

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 1 плюс синус x конец аргумента плюс косинус x=0.$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Решение.

а)  Последовательно получаем:

$корень из: начало аргумента: 1 плюс синус x конец аргумента плюс косинус x=0 равносильно корень из: начало аргумента: 1 плюс синус x конец аргумента = минус косинус x равносильно система выражений новая строка косинус x меньше или равно 0 , новая строка 1 плюс синус x минус косинус в квадрате x=0 конец системы .$   $равносильно$

$равносильно система выражений новая строка косинус x меньше или равно 0 , новая строка 1 плюс синус x минус косинус в квадрате x=0 конец системы . равносильно система выражений новая строка косинус x меньше или равно 0 , новая строка синус в квадрате x плюс синус x=0 конец системы . равносильно система выражений новая строка косинус x меньше или равно 0 , новая строка синус x умножить на левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка =0 конец системы . равносильно$ $равносильно система выражений новая строка косинус x меньше или равно 0 , новая строка 1 плюс синус x минус косинус в квадрате x=0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка косинус x меньше или равно 0 , новая строка синус в квадрате x плюс синус x=0 конец системы . равносильно система выражений новая строка косинус x меньше или равно 0 , новая строка синус x умножить на левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка =0 конец системы . равносильно$

$система выражений косинус x меньше или равно 0, совокупность выражений синус x = 0, синус x = минус 1 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$

б)   Ясно, что искомыми корнями будут числа вида: $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи .$

Ответ: а) $Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z.$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 506068: 508142 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 94

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе