ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 505752 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 66

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Сложные задачи с параметром. Уравнения с параметром

При каких значениях параметра a уравнение

$левая круглая скобка синус x минус логарифм по основанию 4 a правая круглая скобка левая круглая скобка синус x минус 2 плюс 2a правая круглая скобка =0.$

Имеет ровно два корня на отрезке $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение.

Заметим для начала, что уравнение $синус x=b$ имеет на указанном промежутке 2 корня при $минус 1 меньше b меньше или равно 1,$ 1 корень при $b= минус 1,$ не имеет корней при прочих b.

Возможны следующие ситуации:

1)  Уравнение $синус x= логарифм по основанию 4 a$ имеет два корня, а уравнение $синус x=2 минус 2a$ корней не имеет.

Тогда $минус 1 меньше логарифм по основанию 4 a меньше или равно 1,$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше a меньше или равно 4.$ Чтобы второе уравнение не имело корней, a не должно попасть в промежуток $левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Итого: $a принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; 4 правая квадратная скобка .$

2)  Уравнение $синус x= логарифм по основанию 4 a$ корней не имеет, а уравнение $синус x=2 минус 2a$ имеет два корня.

Тогда $минус 1 меньше 2 минус 2a меньше или равно 1,$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно a меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$ Но при таких a уравнение $синус x= логарифм по основанию 4 a$ тоже имеет корни.

3)  Оба уравнения имеют по одному корню и эти корни не совпадают, что невозможно.

4)  Каждое уравнение имеет по два корня, и эти корни совпадают. Тогда $логарифм по основанию 4 a=2 минус 2a равносильно a=1$ и каждое уравнение превращается в $синус x = 0,$ которое имеет на указанном промежутке два корня

Ответ: $a принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; 4 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 505752: 505940 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 66

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип Д17 C6 № 505940 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 16

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Сложные задачи с параметром. Уравнения с параметром

При каких значениях параметра a уравнение $левая круглая скобка синус x минус логарифм по основанию 4 a правая круглая скобка левая круглая скобка синус x минус 2 плюс 2a правая круглая скобка =0$ имеет ровно два корня на отрезке $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ?$

Решение.

Решим уравнение:

$совокупность выражений синус x= логарифм по основанию 4 a, синус x=2 минус 2a. конец совокупности$

Первое уравнение имеет два решения, если $минус 1 меньше логарифм по основанию 4 a\leqslant1,$ одно решение, если $логарифм по основанию 4 a= минус 1$ и не имеет решений во всех остальных случаях.

Второе уравнение имеет два решения, если $минус 1 меньше 2 минус 2a\leqslant1,$ одно решение, если $2 минус 2a= минус 1$ и не имеет решений во всех остальных случаях.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня, если

$совокупность выражений система выражений минус 1 меньше логарифм по основанию 4 a\leqslant1, совокупность выражений 2 минус 2a меньше минус 1,2 минус 2a больше 1 конец системы . конец совокупности . система выражений минус 1 меньше 2 минус 2a\leqslant1, совокупность выражений логарифм по основанию 4 a меньше минус 1, логарифм по основанию 4 a больше 1 конец системы . конец совокупности . конец совокупности .$

или если $логарифм по основанию 4 a=2 минус 2a.$ Решая совокупность и уравнение, получаем ответ.

Ответ: $левая круглая скобка 0,25; 0,5 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 1,5;4 правая квадратная скобка$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 505752: 505940 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 16

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе