ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д8 C1 № 505616 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 45

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности функций, Формулы приведения

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

Решите уравнение a) $синус левая круглая скобка 2x минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус 8x правая круглая скобка плюс косинус 6x=1.$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение.

$синус левая круглая скобка 2x минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус 8x правая круглая скобка плюс косинус 6x=1 равносильно минус синус левая круглая скобка 2 Пи плюс дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус 2x правая круглая скобка минус косинус 8x плюс косинус 6x минус 1=0 равносильно$ $синус левая круглая скобка 2x минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус 8x правая круглая скобка плюс косинус 6x=1 равносильно$
$равносильно минус синус левая круглая скобка 2 Пи плюс дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус 2x правая круглая скобка минус косинус 8x плюс косинус 6x минус 1=0 равносильно$

$равносильно косинус 2x плюс косинус 6x минус левая круглая скобка 1 плюс косинус 8x правая круглая скобка =0 равносильно 2 косинус 4x умножить на косинус 2x минус 2 косинус в квадрате 4x=0 равносильно$ $равносильно косинус 2x плюс косинус 6x минус левая круглая скобка 1 плюс косинус 8x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 2 косинус 4x умножить на косинус 2x минус 2 косинус в квадрате 4x=0 равносильно$

$равносильно 2 косинус 4x умножить на левая круглая скобка косинус 2x минус косинус 4x правая круглая скобка =0 равносильно косинус 4x умножить на левая круглая скобка косинус 4x минус косинус 2x правая круглая скобка =0 равносильно косинус 4x умножить на синус 3x умножить на синус x=0 равносильно$ $равносильно 2 косинус 4x умножить на левая круглая скобка косинус 2x минус косинус 4x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно косинус 4x умножить на левая круглая скобка косинус 4x минус косинус 2x правая круглая скобка =0 равносильно косинус 4x умножить на синус 3x умножить на синус x=0 равносильно$ $равносильно 2 косинус 4x умножить на левая круглая скобка косинус 2x минус косинус 4x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно косинус 4x умножить на левая круглая скобка косинус 4x минус косинус 2x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно косинус 4x умножить на синус 3x умножить на синус x=0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка косинус 4x=0, новая строка синус 3x=0, новая строка синус x=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка 4x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , новая строка 3x= Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби n,n принадлежит Z , новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби n,n принадлежит Z , новая строка x= Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$

Серия корней $x= Пи n,n принадлежит Z$ содержится в серии корней $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби n,n принадлежит Z .$

б)  Ясно, что в заданный промежуток попадают корни: $0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$ Кроме того, будет еще один корень $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби n,n принадлежит Z ; дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 3 конец дроби ,n принадлежит Z .$ б) $0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 505616: 505990 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 45

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип Д8 C1 № 505990 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 25

Классификатор алгебры: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности функций, Формулы двойного угла, Формулы приведения

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение $косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 3x правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка плюс косинус 2x=1.$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка .$

Решение.

а)  Перепишем уравнение, используя формулу преобразования суммы косинусов двух аргументов в произведение:

$2 косинус дробь: числитель: дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 3x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на косинус дробь: числитель: дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 3x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x, знаменатель: 2 конец дроби плюс косинус 2x минус 1=0 равносильно$

$равносильно 2 косинус левая круглая скобка Пи плюс 2x правая круглая скобка умножить на косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка минус 2 синус в квадрате x=0 равносильно$

$равносильно минус 2 косинус 2x умножить на левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка минус 2 синус в квадрате x=0 равносильно 2 косинус 2x умножить на синус x минус 2 синус в квадрате x=0 равносильно$

$равносильно 2 синус x умножить на левая круглая скобка косинус 2x минус синус x правая круглая скобка =0 равносильно синус x умножить на левая круглая скобка косинус в квадрате x минус синус в квадрате x минус синус x правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно синус x умножить на левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x минус синус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений новая строка синус x=0, новая строка 2 синус в квадрате x плюс синус x минус 1=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка синус x=0, новая строка синус x= дробь: числитель: минус 1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 8 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно$ $равносильно синус x умножить на левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x минус синус x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка синус x=0, новая строка 2 синус в квадрате x плюс синус x минус 1=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка синус x=0, новая строка синус x= дробь: числитель: минус 1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 8 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно$ $равносильно синус x умножить на левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x минус синус x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка синус x=0, новая строка 2 синус в квадрате x плюс синус x минус 1=0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка синус x=0, новая строка синус x= дробь: числитель: минус 1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 8 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка синус x=0, новая строка синус x= дробь: числитель: минус 1\pm 3, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка синус x=0, новая строка синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка синус x= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$

б)   $x_1=0;$ $x_2= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $x_3= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $x_4= Пи .$

Ответ: а) $Пи n,n принадлежит Z ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ; левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ б) $0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 505616: 505990 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 25

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе