PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
имеет ровно два решения.
Решение. Пусть 
тогда исходное уравнение принимает вид:
Значит, решение исходного уравнения — это решение уравнений 
или 
Исследуем сколько решений имеет уравнение 
в зависимости от a и 
Заметим, что слева стоит сумма модулей, то есть при 
решений нет. Запишем уравнение в виде 
График левой части этого уравнения — график модуля с вершиной в точке 
график правой части — график модуля, отражённый относительно 
Это уравнение будет иметь два решения, если одновременно прямая 
лежит правее (выше) прямой 
и прямая 
лежит левее (выше) прямой 
Это достигается условиями 
и 
Таким образом, уравнение совокупности имеет два решения при условии:
Если вершина 
находится внутри части плоскости отсекаемой графиком 
то уравнение имеет два решения, если прямые и совпадают или прямые 
и совпадают, то уравнение имеет бесконечно много решений, если вершина 
совпадает с точкой то уравнение имеет одно решение.
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения, если одно из уравнений совокупности имеет два решения, а второе не имеет решений, либо если каждое из уравнений совокупности имеет два решения, но эти решения совпадают. Разберём каждый из этих случаев.
Первый случай. При 
или 
или уравнение совокупности решений не имеет. Таким образом, исходное уравнение имеет два решения, если первое уравнение имеет два решения, а второе — не имеет, либо наоборот. В случае, когда первое уравнение верно, система условий имеет вид:
В случае, когда второе уравнение верно, система условий имеет вид:
Второй случай. Решения совпадут, если совпадают уравнения, то есть, если 
откуда 
При данном значении a оба уравнения принимают вид:
Данное уравнение не имеет решений.
То есть исходное уравнение не имеет решений при a равном 
Таким образом, уравнение имеет ровно два решения при 
Ответ: 
Приведём другое решение.
Пусть тогда исходное уравнение принимает вид:
Прямые 
и 
(изображены синим пунктиром) разбивают плоскость xOa на четыре части, в каждой из которых модули снимаются одинаково.
I случай: 
и 
Получаем
II случай: и 
Тогда
III случай: 
и Совокупность принимает вид
IV случай: и Получаем
Графиком совокупности (⁎) являются две ломаные (изображены оранжевым).
Значит, при 
или 
исходное уравнение имеет два решения, при 
или 
исходное уравнение имеет бесконечное число решений, при 
исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Обосновано получен ответ отличающийся от верного только исключением и/или включением ГРАНИЧНЫХ точек ИЛИ Ответ неверен вследствие одной вычислительной ошибки (описки), не повлиявшей на ход решения и не упростившей задачу. | 3 |
С помощью верного рассуждения получены искомые значения  возможно неверные, из-за неверной оценки введенной переменной  | 2 |
Задача сведена к исследованию взаимного расположения графика функций  и  . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
тогда исходное уравнение принимает вид:
(1)
(2)
или 
Исследуем сколько решений имеет уравнение 
в зависимости от a и 
Левая часть этого уравнения — график модуля с вершиной в точке 
график правой части — график модуля, с вершиной в точке 
и прямая 
либо, если одновременно прямая 
Получаем совокупность двух систем уравнений:
(3)
и 
.
Решения этого уравнения имеют вид 
или 
Значит, решения исходного уравнения — это решения уравнений 
графиком этой функции является ломаная, состоящая из трёх звеньев, угловые коэффициенты которых 
Таким образом, уравнение 
бесконечно много решений при 
и не имеет решений при 
уравнение 
имеет два решения при 
одно решение при 
и не имеет решений при 
то есть при 
При 
оба уравнения принимают вид 
и 
неравенство принимает вид 
и выполняется при любом 
При 
неравенство принимает вид 
откуда с учётом условия 
и 
и 
тогда уравнение запишется в виде 
Решения этого уравнения имеют вид 
или 
Значит, решения исходного уравнения — это решения уравнений 
или 
в зависимости от a и b. Рассмотрим функцию 
При 
графиком этой функции является ломаная, состоящая из трёх звеньев, угловые коэффициенты которых равны −2, 0 и 2. Минимальное значение достигается на отрезке с концами −5 и a и равно 
Таким образом, уравнение 
бесконечно много решений при 
и не имеет решений при 
В случае 
уравнение 
имеет два решения при 
могут иметь общие решения при 
то есть при 
При 
оба уравнения принимают вид 
неравенство принимает вид 
и выполняется при любом 
При 
неравенство принимает вид 
откуда с учётом условия 
и 
и/или 
но неверно определены промежутки значений a,
тогда 
Раскроем модули:
Заметим, что значения 
не дают решений исходного уравнения, значение 
дает бесконечно много решений, а каждое значение 
дает два решения исходного уравнения.
должно иметь либо два различных корня, лежащих по разные стороны от числа 2, либо должно иметь единственное решение, большее чем 2. Рассмотрим эти случаи.
задает на плоскости параболу, ветви которой направлены вверх, поэтому уравнение 
имеет два различных корня, лежащих по разные стороны от числа 2, тогда и только тогда, когда значение функции f в точке 2 отрицательно:
и 
Имеем:
и/или 
где 
