Пусть O₁  — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са   — вто­рой окруж­но­сти, A  — вер­ши­на пря­мо­го угла, тогда

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: точка O₁ лежит между точ­ка­ми A и O₂ (рис. 1), тогда O₂A  =  O₁A + O₁O₂  =  20, от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ имеем: По­сколь­ку общая хорда MN окруж­но­стей пер­пен­ди­ку­ляр­на линии цен­тров O₁O₂ и де­лит­ся ею по­по­лам, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка O₁MO₂ равна по­ло­ви­не MN.

По­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка O₁MO₂ равен тогда для пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка имеем:

от­ку­да

Вто­рой слу­чай: точка O₂ лежит между точ­ка­ми A и O₁ (рис. 2), тогда O₂A  =  O₁A − O₁O₂  =  4, от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ имеем O₁O₂  =  8, Ана­ло­гич­но пер­во­му слу­чаю, вы­со­та MN тре­уголь­ни­ка O₁MO₂ равна по­ло­ви­не MN.

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ по­лу­пе­ри­метр:

от­ку­да

Вы­чис­ле­ния для вто­ро­го слу­чая можно упро­стить: по­сколь­ку длины OM, O₂M и O₁O₂ яв­ля­ют­ся пи­фа­го­ро­вой трой­кой, точка H сов­па­да­ет с цен­тром O₂, а по­то­му

При­ведём ре­ше­ние за­да­чи ме­то­дом ко­ор­ди­нат.

За­ме­тим, что центр окруж­но­сти лежит на бис­сек­три­се пря­мо­го угла, по­это­му рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей ра­ди­у­сов R и r равно где R > r. По усло­вию это рас­сто­я­ние равно 8, по­это­му если ра­ди­ус боль­шей окруж­но­сти (слу­чай 1), то:

а если ра­ди­ус мень­шей окруж­но­сти (слу­чай 2), то:

По­ме­стим на­ча­ло си­сте­мы ко­ор­ди­нат в вер­ши­не пря­мо­го угла, а ко­ор­ди­нат­ные оси рас­по­ло­жим вдоль его сто­рон. Тогда в слу­чае 1 ко­ор­ди­на­ты точек пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей можно найти из си­сте­мы урав­не­ний:

решая ко­то­рую, на­хо­дим: Тогда по фор­му­ле рас­сто­я­ния между двумя точ­ка­ми на­хо­дим: от­ку­да

В слу­чае 2 имеем си­сте­му урав­не­ний:

решая ко­то­рую, на­хо­дим: Далее на­хо­дим

от­ку­да

Ответ: или

Пусть   — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са     — вто­рой окруж­но­сти, A  — вер­ши­на пря­мо­го угла, тогда

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: точка лежит между точ­ка­ми A и (рис. 1), тогда от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти

В тре­уголь­ни­ке имеем: По­сколь­ку общая хорда MN окруж­но­стей пер­пен­ди­ку­ляр­на линии цен­тров и де­лит­ся ею по­по­лам, вы­со­та MN тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не

По­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка равен тогда для пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка имеем:

от­ку­да

Вто­рой слу­чай: точка лежит между точ­ка­ми A и (рис. 2), тогда от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти В тре­уголь­ни­ке имеем Ана­ло­гич­но пер­во­му слу­чаю, вы­со­та MN тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не

В тре­уголь­ни­ке по­лу­пе­ри­метр:

от­ку­да

Ответ: или

Пусть O₁  — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са O₂  — центр вто­рой окруж­но­сти, A  — вер­ши­на пря­мо­го угла, тогда

Пер­вый слу­чай: точка O₁ лежит между точ­ка­ми A и O₂ (рис. 1), тогда O₂A  =  O₁A + O₁O₂  =  14, от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ имеем O₁O₂  =  6, По­сколь­ку общая хорда MN окруж­но­стей пер­пен­ди­ку­ляр­на линии цен­тров O₁O₂ и де­лит­ся ею по­по­лам, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка O₁MO₂ равна по­ло­ви­не MN.

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ по­лу­пе­ри­метр

от­ку­да

Вто­рой слу­чай: точка O₂ лежит между точ­ка­ми A и O₁ (рис. 2), тогда O₂A  =  O₁A − O₁O₂ от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ имеем O₁O₂  =  12, Ана­ло­гич­но пер­во­му слу­чаю, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка O₁MO₂ равна по­ло­ви­не MN.

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ по­лу­пе­ри­метр

от­ку­да

Ответ: или

Пусть O₁  — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са O₂  — центр вто­рой окруж­но­сти, A  — вер­ши­на пря­мо­го угла, тогда

Воз­мож­ны два слу­чая.

Пер­вый слу­чай: точка O₁ лежит между точ­ка­ми A и O₂ (рис. 1), тогда O₂A  =  O₁A + O₁O₂  =  28, от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ имеем O₁O₂  =  12, По­сколь­ку общая хорда MN окруж­но­стей пер­пен­ди­ку­ляр­на линии цен­тров O₁O₂ и де­лит­ся ею по­по­лам, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка O₁MO₂ равна по­ло­ви­не MN.

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ по­лу­пе­ри­метр

от­ку­да

Вто­рой слу­чай: точка O₂ лежит между точ­ка­ми A и O₁ (рис. 2), тогда O₂A  =  O₁A − O₁O₂ от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ имеем O₁O₂  =  12, Ана­ло­гич­но пер­во­му слу­чаю, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка O₁MO₂ равна по­ло­ви­не MN.

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ по­лу­пе­ри­метр

от­ку­да

Ответ: или

Пусть O₁  — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са O₂  — центр вто­рой окруж­но­сти, A  — вер­ши­на пря­мо­го угла, тогда

Воз­мож­ны два слу­чая.

Пер­вый слу­чай.

Точка O₁ лежит между точ­ка­ми A и O₂ (рис. 1), тогда

от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ имеем O₁O₂  =  16,

По­сколь­ку общая хорда MN окруж­но­стей пер­пен­ди­ку­ляр­на линии цен­тров O₁O₂ и де­лит­ся ею по­по­лам, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка O₁MO₂, равна по­ло­ви­не MN.

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂, по­лу­пе­ри­метр

от­ку­да

Вто­рой слу­чай.

Точка O₂, лежит между точ­ка­ми A и O₁ (рис. 2), тогда O₂A  =  O₁A − O₁O₂  =  8, от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ имеем O₁O₂  =  16,

Ана­ло­гич­но пер­во­му слу­чаю, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка O₁MO₂, равна по­ло­ви­не MN.

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂, по­лу­пе­ри­метр

от­ку­да

Ответ:

Пусть O₁  — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са 6, O₂  — центр вто­рой окруж­но­сти, O  — вер­ши­на угла, в ко­то­рый впи­са­ны окруж­но­сти, A и B  — точки ка­са­ния со­от­вет­ствен­но пер­вой и вто­рой окруж­но­стей с одной из сто­рон угла, тогда OO₁  =  2O₁A  =  12.

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: точка O₁ лежит между точ­ка­ми O и O₂ (рис. 1), тогда OO₂  =  OO₁ + O₁O₂  =  16, от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ имеем O₁O₂  =  4, O₁M  =  6, O₂M  =  8. По­сколь­ку общая хорда MN окруж­но­стей пер­пен­ди­ку­ляр­на линии цен­тров O₁O₂ и де­лит­ся ею по­по­лам, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка O₁MO₂ равна по­ло­ви­не MN.

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ по­лу­пе­ри­метр

от­ку­да

Вто­рой слу­чай: точка O₂ лежит между точ­ка­ми O и O₁ (рис. 2), тогда OO₂  =  OO₁ − O₁O₂  =  8, от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти

Ана­ло­гич­но пер­во­му слу­чаю, в тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ имеем O₁O₂  =  4, O₁M  =  6, O₂M  =  4, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка O₁MO₂ равна по­ло­ви­не MN.

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ по­лу­пе­ри­метр

от­ку­да

Ответ: или