Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д14 C4 № 502137
i

Окруж­ность ра­ди­у­са 12 ко­рень из 2 впи­са­на в пря­мой угол. Вто­рая окруж­ность также впи­са­на в этот угол и пе­ре­се­ка­ет­ся с пер­вой в точ­ках M и N. Из­вест­но, что рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно 16. Най­ди­те MN.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть O1  — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са 12 ко­рень из 2 , O2  — центр вто­рой окруж­но­сти, A  — вер­ши­на пря­мо­го угла, тогда O_1A= дробь: чис­ли­тель: 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: синус 45 гра­ду­сов конец дроби =24.

Воз­мож­ны два слу­чая.

 

Пер­вый слу­чай.

Точка O1 лежит между точ­ка­ми A и O2 (рис. 1), тогда

O_2A=O_1A плюс O_1O_2=40,

от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти O_2M = 20 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . В тре­уголь­ни­ке O1MO2 имеем O1O2  =  16, O_1M =12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ,O_2M= 20 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

По­сколь­ку общая хорда MN окруж­но­стей пер­пен­ди­ку­ляр­на линии цен­тров O1O2 и де­лит­ся ею по­по­лам, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка O1MO2, равна по­ло­ви­не MN.

В тре­уголь­ни­ке O1MO2, по­лу­пе­ри­метр

p= дробь: чис­ли­тель: O_1O_2 плюс O_1M плюс O_2M, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =8 плюс 16 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

 

S_O_1MO_2 = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: p левая круг­лая скоб­ка p минус O_1O_2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка p минус O_1M пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка p минус O_2M пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та = 32 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та ,

от­ку­да

MH = дробь: чис­ли­тель: 2S_O_1MO_2, зна­ме­на­тель: O_1O_2 конец дроби =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та , MN=2MH=8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та .

 

Вто­рой слу­чай.

Точка O2, лежит между точ­ка­ми A и O1 (рис. 2), тогда O2A  =  O1A − O1O2  =  8, от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти O_2M =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

В тре­уголь­ни­ке O1MO2 имеем O1O2  =  16, O_1M =12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , O_2М = 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Ана­ло­гич­но пер­во­му слу­чаю, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка O1MO2, равна по­ло­ви­не MN.

В тре­уголь­ни­ке O1MO2, по­лу­пе­ри­метр

p= дробь: чис­ли­тель: O_1O_2 плюс O_1M плюс O_2M, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =8 плюс 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

 

S_O_1MO_2 = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: p левая круг­лая скоб­ка p минус O_1O_2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка p минус O_1M пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка p минус O_2M пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та = 32 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ,

от­ку­да

MH = дробь: чис­ли­тель: 2S_O_1MО_2, зна­ме­на­тель: O_1O_2 конец дроби =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , MN=2MH=8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ,8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 501609: 502117 502137 503255 ... Все

Методы геометрии: Метод ко­ор­ди­нат
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, Окруж­но­сти и си­сте­мы окруж­но­стей
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026