ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 485982 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Левая и правая части в качестве отдельных графиков

Методы алгебры: Использование косвенных методов

Задача с параметром. Уравнения с параметром, содержащие модуль

При каких a уравнение $\left| x в квадрате минус 2x минус 3 | минус 2a=\left| x минус a | минус 1$ имеет ровно три корня?

Решение.

Запишем уравнение в виде $\left|x в квадрате минус 2x минус 3 |=\left| x минус a | плюс 2a минус 1.$

Построим графики левой и правой частей уравнения $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\left|x в квадрате минус 2x минус 3 |$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =\left| x минус a | плюс 2a минус 1.$ Первая из них парабола с отраженной отрицательной частью, а вторая график модуля с вершиной в точке $левая круглая скобка a,2a минус 1 правая круглая скобка$ (см. рис.). Ясно, что вершина второго графика перемещается в зависимости от a по прямой $y=2x минус 1.$ Из рисунка видно, что подходящих значений a ровно два  — при одном из них график правой части проходит через точку $левая круглая скобка минус 1, 0 правая круглая скобка$ при другом  — касается отраженного участка параболы.

Первое происходит при $a=0,$ а второе  — когда уравнение

$3 плюс 2x минус x в квадрате =3a минус 1 минус x равносильно x в квадрате минус 3x плюс 3a минус 4=0$

имеет единственный корень, то есть в случае, когда дискриминант равен нулю.

$D=3 в квадрате минус 4 левая круглая скобка 3a минус 4 правая круглая скобка =25 минус 12a=0 равносильно a= дробь: числитель: 25, знаменатель: 12 конец дроби .$

Ответ: $a=0, a= дробь: числитель: 25, знаменатель: 12 конец дроби .$

Приведем решение Елизаветы Зелёненькой (Москва).

Найдем знак каждого подмодульного выражения в каждой области:

	$\| x в квадрате минус 2x минус 3 \|$	$\left\| x минус a \|$
I	+	−
II	−	−
III	+	−
IV	+	+
V	−	+
VI	+	+

Найдем уравнения для каждой области. Области I и III:

$x в квадрате минус 2x минус 3 минус 2a=a минус x минус 1 равносильно a= дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

Графиком данной функции является парабола, координаты вершины которой $x_0 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , a_0 = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$

Область II:

$минус x в квадрате плюс 2x плюс 3 минус 2a=a минус x минус 1 равносильно a= минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби плюс x плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .$

Графиком данной функции является парабола, координаты вершины которой $x_0 = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , a_0 = дробь: числитель: 25, знаменатель: 12 конец дроби .$

Области IV и VI:

$x в квадрате плюс 2x минус 3 минус 2a=x минус a минус 1 равносильно a=x в квадрате минус 3x минус 2.$

Графиком данной функции является парабола, координаты вершины которой $x_0 = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , a_0 = минус 4,25.$

Область V:

$минус x в квадрате плюс 2x плюс 3 минус 2a=x минус a минус 1 равносильно a= минус x в квадрате плюс x плюс 4.$

Графиком данной функции является парабола, координаты вершины которой $x_0 = 0,5, a_0 = 4,25.$

Изобразим в координатах (x; a):

Уравнение имеет ровно три корня при $a=0, a= дробь: числитель: 25, знаменатель: 12 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован, или в обосновании содержатся мелкие неточности, например отсутстуют рисунки для различных значений параметра	3
Ход решения в целом верен, но ответ содержит посторонние числа, или найдено только одно из верных значений	2
Решение содержит верную геометрическую интерпретацию задачи или верный переход к равносильной системе без модулей,	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: $a=0, a= дробь: числитель: 25, знаменатель: 12 конец дроби .$

Аналоги к заданию № 485982: 515767 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · 1 комментарий · Помощь

Тип 18 № 515767 Добавить в вариант

Источники:

Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2017. Задания С6;

Типовые тестовые задания по математике под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 7. (Часть 2).

Классификатор алгебры: Левая и правая части в качестве отдельных графиков

Задача с параметром. Уравнения с параметром, содержащие модуль

При каких значениях а уравнение $|x в квадрате минус 4x минус 5| минус 3a=|x минус a| минус 1$ имеет ровно три корня?

Решение.

График функции $y=|x в квадрате минус 4x минус 5|$   — парабола, отраженная относительно оси Ox. Вершина $y=|x минус a| плюс 3a минус 1$   — это точка (a; 3a − 1), она перемещается по прямой $y=3x минус 1.$

Ясно, что три решения будет при $a=0$ и в случае касания прямой $y=4a минус x минус 1$ и $y= минус x в квадрате плюс 4x плюс 5:$

$система выражений минус 2x плюс 4= минус 1,4a минус x минус 1= минус x в квадрате плюс 4x плюс 5 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,4a=5 умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 минус дробь: числитель: 25, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,a= дробь: числитель: 49, знаменатель: 16 конец дроби . конец системы .$

Ответ: $0; дробь: числитель: 49, знаменатель: 16 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Ответ: $0; дробь: числитель: 49, знаменатель: 16 конец дроби .$

Аналоги к заданию № 485982: 515767 Все

Источники:

Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2017. Задания С6;

Типовые тестовые задания по математике под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 7. (Часть 2).

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе