PDF-версии: 
При каких a уравнение 
имеет ровно три корня?
Решение. Запишем уравнение в виде 
Построим графики левой и правой частей уравнения 
и 
Первая из них парабола с отраженной отрицательной частью, а вторая график модуля с вершиной в точке 
(см. рис.). Ясно, что вершина второго графика перемещается в зависимости от a по прямой 
Из рисунка видно, что подходящих значений a ровно два — при одном из них график правой части проходит через точку 
при другом — касается отраженного участка параболы.
Первое происходит при 
а второе — когда уравнение
имеет единственный корень, то есть в случае, когда дискриминант равен нулю.
Ответ: 
Приведем решение Елизаветы Зелёненькой (Москва).
Изобразим уравнение в системе координат xOa. Прямые a = x, x = −1, x = 3 разбивают плоскость на шесть областей, в каждой из которых знаки выражений 
и 
остаются постоянными.
Найдем знак каждого подмодульного выражения в каждой области:
| | |
| I | + | − |
| II | − | − |
| III | + | − |
| IV | + | + |
| V | − | + |
| VI | + | + |
Найдем уравнения для каждой области. Области I и III:
Графиком данной функции является парабола, координаты вершины которой 
Область II:
Графиком данной функции является парабола, координаты вершины которой 
Области IV и VI:
Графиком данной функции является парабола, координаты вершины которой 
Область V:
Графиком данной функции является парабола, координаты вершины которой 
Изобразим в координатах (x; a):
Уравнение имеет ровно три корня при
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован, или в обосновании содержатся мелкие неточности, например отсутстуют рисунки для различных значений параметра | 3 |
| Ход решения в целом верен, но ответ содержит посторонние числа, или найдено только одно из верных значений | 2 |
| Решение содержит верную геометрическую интерпретацию задачи или верный переход к равносильной системе без модулей, | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
имеет ровно три корня?
— парабола, отраженная относительно оси Ox. Вершина 
— это точка (a; 3a − 1), она перемещается по прямой 
и в случае касания прямой 
и 
