а)  Про­ек­ция точки S на плос­кость ос­но­ва­ния  — это точка O, центр ос­но­ва­ния. Центр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния его ме­ди­ан, по­это­му AO : ON  =  2 : 1. Про­ек­ци­ей пря­мой AS на плос­кость ос­но­ва­ния яв­ля­ет­ся пря­мая AN. По­это­му про­ек­ция точки M  — точка   — лежит на от­рез­ке AN. M  — се­ре­ди­на AS, по­это­му   — се­ре­ди­на от­рез­ка AO. Таким об­ра­зом, про­ек­ции точек S и M на плос­кость ос­но­ва­ния делят вы­со­ту AN тре­уголь­ни­ка ABC на три рав­ные части.

б)  AN  — ме­ди­а­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, зна­чит, Про­ек­ци­ей пря­мой MN яв­ля­ет­ся пря­мая AN, сле­до­ва­тель­но, угол   — ис­ко­мый. где O  — центр ос­но­ва­ния, зна­чит,   — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ASO, по­это­му Тогда и Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Зна­чит, ис­ко­мый угол равен

Ответ:

а)  Про­ек­ци­ей точки S на плос­кость ос­но­ва­ния яв­ля­ет­ся точка O - центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. На пря­мой AO лежит вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC, по­это­му Таким об­ра­зом, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах,

б)  Пусть M и N  — се­ре­ди­ны рёбер AS и BC со­от­вет­ствен­но. Пря­мая AS про­ек­ти­ру­ет­ся на плос­кость ос­но­ва­ния в пря­мую По­это­му про­ек­ция точки M  — точка   — лежит на от­рез­ке Зна­чит, пря­мая AN яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей пря­мой MN, сле­до­ва­тель­но, угол   — ис­ко­мый. За­ме­тим, что где O  — центр ос­но­ва­ния, зна­чит,   — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ASO, а по­это­му   — се­ре­ди­на

Тогда и Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим: Зна­чит, ис­ко­мый угол равен

Ответ:

а)  Спро­еци­ру­ем вер­ши­ну S на плос­кость ABC. По­лу­чит­ся точка O  — центр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Зна­чит, а тогда, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах

б)  Пусть M и N  — се­ре­ди­ны ребер AS и BC со­от­вет­ствен­но. AN  — ме­ди­а­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, сле­до­ва­тель­но, на­хо­дит­ся по фор­му­ле Пря­мая AS про­еци­ру­ет­ся на плос­кость ос­но­ва­ния и пря­мую По­это­му про­ек­ция точки M  — точка   — лежит на от­рез­ке Зна­чит, пря­мая AN яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей пря­мой MN, сле­до­ва­тель­но, угол   — ис­ко­мый.

где O  — центр ос­но­ва­ния, зна­чит,   — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ASO по­это­му Тогда и Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Зна­чит, ис­ко­мый угол равен

Ответ:

а)  Про­ек­ция точки S на плос­кость ос­но­ва­ния это точка O  — центр ос­но­ва­ния. Центр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния его ме­ди­ан, по­это­му Пря­мая AS про­еци­ру­ет­ся на плос­кость ос­но­ва­ния и пря­мую По­это­му про­ек­ция точки M  — точка   — лежит на от­рез­ке M  — се­ре­ди­на AS, по­это­му ее про­ек­ция  — это се­ре­ди­на от­рез­ка AO. Таким об­ра­зом, про­ек­ции точек S и M на плос­кость ос­но­ва­ния делят вы­со­ту AN тре­уголь­ни­ка ABC на три рав­ные части.

б)  Пря­мая AS про­ек­ти­ру­ет­ся на плос­кость ос­но­ва­ния в пря­мую По­это­му про­ек­ция точки M  — точка   — лежит на от­рез­ке Зна­чит, пря­мая AN яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей пря­мой MN, сле­до­ва­тель­но, угол   — ис­ко­мый. За­ме­тим, что где O  — центр ос­но­ва­ния, зна­чит,   — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ASO, а по­это­му   — се­ре­ди­на

Тогда

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Зна­чит, ис­ко­мый угол равен

Ответ:

а)  Спро­еци­ру­ем вер­ши­ну S на плос­кость ABC. По­лу­чит­ся точка O  — центр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Зна­чит, а тогда, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах

б)  Пусть M и N  — се­ре­ди­ны ребер AS и BC со­от­вет­ствен­но. AN  — ме­ди­а­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, сле­до­ва­тель­но, на­хо­дит­ся по фор­му­ле Пря­мая AS про­еци­ру­ет­ся на плос­кость ос­но­ва­ния и пря­мую По­это­му про­ек­ция точки M  — точка   — лежит на от­рез­ке Зна­чит, пря­мая AN яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей пря­мой MN, сле­до­ва­тель­но, угол   — ис­ко­мый.

где O  — центр ос­но­ва­ния, зна­чит,   — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ASO по­это­му Тогда и Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Зна­чит, ис­ко­мый угол равен

Ответ:

а)  Спро­еци­ру­ем вер­ши­ну S на плос­кость ABC. По­лу­чит­ся точка O  — центр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Зна­чит, а тогда, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах

б)  Пусть M и N  — се­ре­ди­ны ребер AS и BC со­от­вет­ствен­но. AN  — ме­ди­а­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, сле­до­ва­тель­но, на­хо­дит­ся по фор­му­ле Пря­мая AS про­еци­ру­ет­ся на плос­кость ос­но­ва­ния и пря­мую По­это­му про­ек­ция точки M  — точка   — лежит на от­рез­ке Зна­чит, пря­мая AN яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей пря­мой MN, сле­до­ва­тель­но, угол   — ис­ко­мый.

где O  — центр ос­но­ва­ния, зна­чит,   — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ASO по­это­му Тогда и Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Зна­чит, ис­ко­мый угол равен

Ответ:

а)  Про­ек­ция точки S на плос­кость ос­но­ва­ния это точка O  — центр ос­но­ва­ния. Центр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния его ме­ди­ан, по­это­му Пря­мая AS про­еци­ру­ет­ся на плос­кость ос­но­ва­ния и пря­мую По­это­му про­ек­ция точки M  — точка   — лежит на от­рез­ке M  — се­ре­ди­на AS, по­это­му ее про­ек­ция  — это се­ре­ди­на от­рез­ка AO. Таким об­ра­зом, про­ек­ции точек S и M на плос­кость ос­но­ва­ния делят вы­со­ту AN тре­уголь­ни­ка ABC на три рав­ные части.

б)  Пря­мая AN яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей пря­мой AM, сле­до­ва­тель­но, угол   — ис­ко­мый. По­сколь­ку где O  — центр ос­но­ва­ния,   — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка

Тогда

Кроме того,

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Ответ:

а)  Спро­еци­ру­ем вер­ши­ну S на плос­кость ABC. По­лу­чит­ся точка O  — центр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Зна­чит, а тогда, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах

б)  Пусть M и N  — се­ре­ди­ны ребер AS и BC со­от­вет­ствен­но. AN  — ме­ди­а­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, сле­до­ва­тель­но, на­хо­дит­ся по фор­му­ле Пря­мая AS про­еци­ру­ет­ся на плос­кость ос­но­ва­ния и пря­мую По­это­му про­ек­ция точки M  — точка   — лежит на от­рез­ке Зна­чит, пря­мая AN яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей пря­мой MN, сле­до­ва­тель­но, угол   — ис­ко­мый.

где O  — центр ос­но­ва­ния, зна­чит,   — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ASO по­это­му Тогда и Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Зна­чит, ис­ко­мый угол равен

Ответ: