PDF-версии: 
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра 
SC = 25. M — середина ребра SA.
а) Докажите, что проекции точек S и M на плоскость основания делят высоту AN треугольника ABC на три равные части.
б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой MN.
Решение. а) Проекция точки S на плоскость основания — это точка O, центр основания. Центр правильного треугольника является точкой пересечения его медиан, поэтому AO : ON = 2 : 1. Проекцией прямой AS на плоскость основания является прямая AN. Поэтому проекция точки M — точка
— лежит на отрезке AN. M — середина AS, поэтому — середина отрезка AO. Таким образом, проекции точек S и M на плоскость основания делят высоту AN треугольника ABC на три равные части.
б) AN — медиана правильного треугольника ABC, значит, 
Проекцией прямой MN является прямая AN, следовательно, угол 
— искомый. 
где O — центр основания, значит, 
— средняя линия треугольника ASO, поэтому 
Тогда 
и 
Из прямоугольного треугольника 
находим:
Из прямоугольного треугольника 
находим:
Значит, искомый угол равен 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Таким образом, по теореме о трех перпендикулярах, 
Поэтому проекция точки M — точка 
и 
Из прямоугольного треугольника 
находим:
Значит, искомый угол равен 
а тогда, по теореме о трех перпендикулярах 
Прямая AS проецируется на плоскость основания и прямую 
— средняя линия треугольника ASO поэтому 
и 
Из прямоугольного треугольника 
SC = 29. M — середина ребра 
Прямая AS проецируется на плоскость основания и прямую 
и 
Прямая AS проецируется на плоскость основания и прямую 
и 
Из прямоугольного треугольника 
SC = 25. M — середина ребра SA.
— искомый. Поскольку 
SC = 17. 
Прямая AS проецируется на плоскость основания и прямую 
и 
Из прямоугольного треугольника 
