СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 513231

На доске записано число 2. Разрешается записывать новые числа, применяя одну из операций:

1) можно увеличить любое из записанных чисел на 3;

2) можно любое из записанных чисел возвести в квадрат.

Можно ли в какой‐то момент получить на доске число:

а) 2015;

б) 2016?

в) За какое наименьшее число ходов можно получить на доске число 2017?

Решение.

а) (операция прибавления тройки повторяется 671 раз).

б) Если число не кратно трем, то и после применения любой из двух операций оно не будет кратно трем. Поэтому получить 2016 нельзя.

в) Посмотрим, из чего могло получиться число 2017. Поскольку оно не квадрат, то только из числа 2014, а оно только из 2011 и так далее до

Если оно было получено из 1933, то аналогично придется дойти до 1849=432, что потребует 29 действий. Но получить 44 можно гораздо быстрее (см. ниже). Значит, было получено из 44. Проследим теперь его получение — 41, 38, 35, 32, 29, 26, 23, 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2 (ни одно из этих чисел не квадрат). Итак, самый короткий способ для получения 2017 это 14 раз прибавить тройку, возвести в квадрат и еще 27 раз прибавить тройку. Итого 42 хода.

 

Ответ: а) да, б) нет, в) 42.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 145.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства