а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки K, L и M  — се­ре­ди­ны ребер AA₁, D₁C₁ и BC со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость KLM пер­пен­ди­ку­ляр­на диа­го­на­ли DB₁.

б)  Най­ди­те ребро куба, если рас­сто­я­ние от точки A до плос­ко­сти KLM равно 

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В на­ча­ле ян­ва­ря 2026 года у Зи­на­и­ды Кар­лов­ны есть 1 BTC. На 1 ян­ва­ря его цена со­став­ля­ет 6 млн руб­лей. Га­дал­ка пред­ска­за­ла Зи­на­и­де Кар­лов­не, что в те­че­ние 2026 года цена бит­ко­и­на будет уве­ли­чи­вать­ся на 500 тысяч руб­лей 1-⁠го числа каж­до­го сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца (с фев­ра­ля по де­кабрь вклю­чи­тель­но). Зи­на­и­да Кар­лов­на может в на­ча­ле лю­бо­го ме­ся­ца (после из­ме­не­ния цены) (с фев­ра­ля по де­кабрь) про­дать свой бит­ко­ин и сразу же по­ло­жить все вы­ру­чен­ные день­ги на бан­ков­ский де­по­зит на Кай­ма­но­вых Ост­ро­вах. Банк на­чис­ля­ет 6% еже­ме­сяч­но на оста­ток по счету (слож­ный про­цент). В на­ча­ле ка­ко­го ме­ся­ца Зи­на­и­де Кар­лов­не сле­ду­ет про­дать бит­ко­ин, чтобы к концу года (на 31 де­каб­ря 2026 г.) сумма на счете Зи­на­и­ды Кар­лов­ны была мак­си­маль­но воз­мож­ной?

В квад­ра­те KLMN точка D  — се­ре­ди­на сто­ро­ны KL, точка E  — се­ре­ди­на от­рез­ка DM. На сто­ро­не KN от­ме­че­на точка B так, что KB : BN  =  1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков BDE и BMD, если пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка BEMN равна 17.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно три раз­лич­ных корня на от­рез­ке

Дано на­ту­раль­ное число n. Обо­зна­чим через S(n) сумму его цифр.

а)  Су­ще­ству­ет ли такое n, что

б)  Су­ще­ству­ет ли такое n, что

в)  Най­ди­те все n, для ко­то­рых