Ре­ше­ние. а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

б)  Отбор кор­ней про­из­ве­дем с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти.

Ответ: а)

б)  

Ре­ше­ние. а)  Пусть сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, равна a. Тогда В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит квад­рат. Вы­бе­рем про­из­воль­ную точку К от­рез­ка AD. По­сколь­ку точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма яв­ля­ет­ся цен­тром его сим­мет­рии, на сто­ро­не BC этого же квад­ра­та най­дет­ся точка M, сим­мет­рич­ная точке K от­но­си­тель­но O. В за­ви­си­мо­сти от рас­по­ло­же­ния точки M на от­рез­ке AD длина от­рез­ка KM будет ме­нять­ся. Оче­вид­но, наи­мень­шее зна­че­ние KM будет а, когда OK сов­па­дет с вы­со­той ΔAOD, наи­боль­шее зна­че­ние  — в слу­чае, когда точка K сов­па­да­ет либо с А, либо с D. Точка K при этом сов­па­дет либо с C, либо с B  — со­от­вет­ствен­но. То есть

Пусть KM  =  x. Пред­по­ло­жим, что S(PKM)  =  S(ABCD). Най­дем x при вы­пол­не­нии этого ра­вен­ства и до­ка­жем, что най­ден­ное зна­че­ние x удо­вле­тво­ря­ет не­ра­вен­ству

Те­перь до­ка­жем не­ра­вен­ство

б)  Пусть Е  — се­ре­ди­на AD. Со­еди­ним от­рез­ка­ми точку E с точ­ка­ми P и О.

До­ка­жем, что KM не­за­ви­си­мо от вы­бо­ра рас­по­ло­же­ния точки K раз­би­ва­ет квад­рат ABCD на две рав­но­ве­ли­кие фи­гу­ры. Дей­стви­тель­но, при сим­мет­рии от­но­си­тель­но O точка M пе­рей­дет в точку K, точка C  — в точку A, точка B в точку D и на­о­бо­рот. Сле­до­ва­тель­но, при той же сим­мет­рии че­ты­рех­уголь­ни­ки ABMK и CDKM пе­рей­дут друг на друга, от­ку­да Далее,

Оче­вид­но, что

Ответ:

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Пусть t > 0. Тогда:

Квад­рат­ный трех­член при любом t, по­сколь­ку

В таком слу­чае Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной x.

По­след­нее не­ра­вен­ство верно при всех x ∈ R, за ис­клю­че­ни­ем числа 1.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  По усло­вию за­да­чи ∠MPO = ∠MKO  =  90°. А это зна­чит, что пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки MPO и MKO имеют общую ги­по­те­ну­зу MO, что в свою оче­редь озна­ча­ет: точки M, O, P, K при­над­ле­жат окруж­но­сти с цен­тром в се­ре­ди­не от­рез­ка MO и ра­ди­у­сом, рав­ным по­ло­ви­не длины от­рез­ка MO. Обо­зна­чим ее (окруж­ность) ω.

Из ска­зан­но­го не­мед­лен­но сле­ду­ет, что су­ще­ству­ет точка, рав­но­уда­лен­ная от точек M, O, P, K, ко­то­рая яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти ω.

б) ∠MOP = ∠MKP как два впи­сан­ных угла, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу CmM. Сле­до­ва­тель­но, ∠MKP  =  30°. Но в ΔMPO, где

В пря­мо­уголь­ном ΔOKM:

В че­ты­рех­уголь­ни­ке MOPK, впи­сан­ном в окруж­ность ω, по тео­ре­ме Пто­ле­мея имеем: то есть

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть ра­бо­чие пер­во­го за­во­да за не­де­лю про­из­во­дят x при­бо­ров, вто­ро­го за­во­да  — y при­бо­ров, и пусть вы­пол­не­но усло­вие. x + y  =  20. Тогда доля че­ло­ве­ко-часов, за­тра­чен­ных на пер­вом за­во­де, со­ста­вит 4x³, а на вто­ром  — y³. Таким об­ра­зом, Лео­ни­ду при­дет­ся за­пла­ни­ро­вать на опла­ту труда ра­бо­чих обоих за­во­дов тысяч руб­лей в не­де­лю. Так как y  =  20 − x, то

Най­дем наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на

Ис­ко­мый ко­рень по­ло­жи­те­лен, он равен За­ме­тим, что на это един­ствен­ная точка экс­тре­му­ма. Если она ока­жет­ся точ­кой ми­ни­му­ма функ­ции, то функ­ция имен­но в этой точке и до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния. Най­дем

Итак, кри­ти­че­ская точка функ­ции точка яв­ля­ет­ся точ­кой ми­ни­му­ма функ­ции S(x).

По­сколь­ку ко­ли­че­ство из­го­тов­лен­ных при­бо­ров будет вы­ра­жать­ся чис­лом на­ту­раль­ным, то наи­мень­шая сумма, не­об­хо­ди­мая для вы­пла­ты ра­бо­чим, будет до­стиг­ну­та либо при x  =  6, либо при x  =  7. Срав­ним эти зна­че­ния:

Итак, ис­ко­мая сумма 3 569 000 руб­лей.

Ответ: 3 569 000 руб­лей.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние: Гра­фик пер­во­го урав­не­ния  — пара па­ра­бол, сим­мет­рич­ных от­но­си­тель­но оси абс­цисс. Гра­фик вто­ро­го урав­не­ния  — пря­мая, про­хо­дя­щая через точку (10; 4). У этих гра­фи­ков три общих точки, если

а)  пря­мая про­хо­дит через общую точку двух па­ра­бо­лы;

б)  пря­мая ка­са­ет­ся одной из двух па­ра­бол.

В слу­чае а) под­ста­вим точки (0; 0) и (4; 0) в урав­не­ние пря­мой и по­лу­чим два зна­че­ния для па­ра­мет­ра а:

В слу­чае б) урав­не­ние или имеет одно ре­ше­ние, то есть у по­лу­чен­ных после пре­об­ра­зо­ва­ния квад­рат­ных урав­не­ний дис­кри­ми­нант равен нулю:

Решая урав­не­ния, по­лу­ча­ем че­ты­ре зна­че­ния для а: Из усло­вия сле­ду­ет, что Оста­ют­ся три зна­че­ния.

Ответ:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние:

Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние си­сте­мы.

Решим вто­рое урав­не­ние си­сте­мы от­но­си­тель­но y. При a ≠ 0

При таких у пер­вое урав­не­ние си­сте­мы при­мет вид:

За­ме­тим, что при любом зна­че­нии a \ne 0 каж­до­му зна­че­нию x в со­от­вет­ствии с ра­вен­ством будет со­от­вет­ство­вать един­ствен­ное зна­че­ние y. Сле­до­ва­тель­но, мы впра­ве пе­ре­фор­му­ли­ро­вать за­да­чу так: най­ди­те все зна­че­ния а, за ис­клю­че­ни­ем 0, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно три ре­ше­ния.

Урав­не­ние (*) рав­но­силь­но со­во­куп­но­сти двух урав­не­ний:

Най­дем дис­кри­ми­нант урав­не­ний (1) и (2), обо­зна­чив их D₁ и D₂ со­от­вет­ствен­но.

Най­дем усло­вие сов­па­де­ния кор­ней урав­не­ний (1) и (2). Пусть x₀  — ко­рень как урав­не­ния (1), так и урав­не­ния (2). Тогда верно ра­вен­ство:

При урав­не­ние (1) при­мет вид:

Таким об­ра­зом, сов­па­де­ние кор­ней урав­не­ний (1) и (2) воз­мож­но лишь при и

Для того чтобы урав­не­ние (*) имело ровно три ре­ше­ния не­об­хо­ди­мо:

1)   или

2)   или

3)  

Но при этом один и толь­ко один из кор­ней урав­не­ния (1) сов­па­дет с одним из кор­ней урав­не­ния (2). Каж­дый из пе­ре­чис­лен­ных слу­ча­ев рас­смот­рим от­дель­но.

1)  

У по­след­не­го урав­не­ния един­ствен­ный под­хо­дя­щий ко­рень, и это: a  =  −32.

Пе­ре­се­че­ни­ем по­лу­чен­ных ре­зуль­та­тов яв­ля­ет­ся a  =  −32, что от­лич­но от и

2)  

По­лу­чен­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра а также от­лич­ны от и

3)  Най­дем мно­же­ство зна­че­ний а, при ко­то­рых будут вы­пол­не­ны оба не­ра­вен­ства D₁ > 0 и D₂ > 0.

Та­ко­вы­ми будут про­ме­жут­ки: и

До­ка­жем, что числа и при­над­ле­жат про­ме­жут­ку В дан­ной си­ту­а­ции нам до­ста­точ­но до­ка­зать:

Дей­стви­тель­но:

(не­ра­вен­ство оче­вид­ное).

(не­ра­вен­ство также оче­вид­ное).

Най­дем корни урав­не­ний (1) и (2) при и и убе­дим­ся, что эти зна­че­ния па­ра­мет­ра  — ис­ко­мые.

Если то:

Если то:

Итак, при всех зна­че­ни­ях кроме и урав­не­ния (1) и (2), сле­до­ва­тель­но, и ис­ход­ная си­сте­ма урав­не­ний имеет ровно че­ты­ре ре­ше­ния, что нас не устра­и­ва­ет; при зна­че­ни­ях же и   — ровно три ре­ше­ния.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер,

б)  На­при­мер, (надо до­пи­сать в усло­вие, что цифры не­ну­ле­вые и все по од­но­му разу)

в)  На­при­мер, 381654729.

Ответ: а) На­при­мер, б) На­при­мер, в) На­при­мер, 381654729.