PDF-версии: 1. Тип 13 № 692248 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Введение вспомогательного угла, Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ, Разложение на множители
Уравнения. Тригонометрические уравнения, разные задачи
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Уравнение определено, если 
и 
Для таких значений x можно умножить обе части уравнения на 
Приравняем каждую из скобок к нулю. Первый случай:
Второе уравнение решим методом введения вспомогательного угла:
Серия 
не входит в ОДЗ уравнения.
Таким образом, решениями являются 
б) Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Подходят 
Ответ: 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
692248
Треугольники ADN и ACK равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, 
то есть треугольник ANK — равнобедренный по определению.
По теореме косинусов для треугольника NKC:
По теореме Фалеса для угла AKN и параллельных прямых AN и MC получаем 
Отрезок AK — медиана, поэтому 
то есть 
Из полученных отношений следует 
откуда 
Значит, 
По теореме Фалеса для угла ABN и параллельных прямых AN и MC получаем 
Следовательно, 
тогда прямые ML и BC параллельны по теореме, обратной теореме Фалеса.
Пусть 
тогда по теореме Пифагора для треугольника BMC получаем:
Из пункта а) 
поэтому:
имеет ровно два корня.
является парабола с вершиной в 
и 
Графиком уравнения 
является та же парабола, отраженная относительно оси Ox.
должна пересекать параболы в двух различных точках. Из рисунка видно, что это происходит, если 
то есть прямая пересекает только ветви синей параболы ниже точки вершины оранжевой; если 
то есть прямая проходит через две точки пересечения парабол; и если 
то есть прямая пересекает только ветви оранжевой параболы выше точки вершины синей.
тогда у односельчан вместе было 
гектаров.
поэтому x кратно 7. Пусть 
тогда односельчан было 25t. Тогда 
или 
то односельчан было 50, значит, площадь каждого участка составляла 1 гектар, тогда 
площадь всего поля 75 гектар, фермер распродал 14 мешков семян (сколько он купил узнать нельзя, потому что он несколько мешков оставил себе).
то односельчан было 25, значит, площадь каждого участка составляла 1 или 2 гектара, тогда 
(невозможно) или