В треугольнике АВС медиана АK, биссектриса BL и высота СМ пересекаются в одной точке Р, СР = 5, РМ = 3.
а) Докажите, что ВС параллельна ML.
б) Найдите площадь треугольника АВС.
а) Проведем перпендикуляр к ребру AB так, чтобы он проходил через точку A. Пусть этот перпендикуляр пересекает продолжение стороны BC за точку C в точке N. Тогда прямые MC и NA параллельны. Биссектриса делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон, поэтому в треугольнике ABK: 
По теореме Фалеса для угла AKN и параллельных прямых AN и MC получаем 
Отрезок AK — медиана, поэтому 
то есть 
Из полученных отношений следует 
откуда 
Биссектриса делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон, поэтому в треугольнике ABC имеем: 
Значит, 
По теореме Фалеса для угла ABN и параллельных прямых AN и MC получаем 
Следовательно, 
тогда прямые ML и BC параллельны по теореме, обратной теореме Фалеса.
б) По свойству биссектрисы в треугольнике MBC находим: 
Пусть 
тогда по теореме Пифагора для треугольника BMC получаем:
Следовательно, 
Пусть 
Из пункта а) 
поэтому:
Ответ: б) 60.