На доске написали несколько необязательно различных трехзначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и третью цифры (например, число 123 заменили на число 321).
а) Могла ли сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Запишем каждое трехзначное число с цифрами a, b, c в виде 
Пусть сумма всех первых цифр равна A, вторых B и третьих C, тогда по условию 
а) После замены сумма стала равна 
Допустим, что
откуда 
Складывая это с исходным уравнением, находим 
Значит, A кратно 10. При этом 
откуда 
Значит, 
и 
Тогда 
значит, все числа кончаются на 0 и переставлять в них цифры нельзя.б) Аналогично допустим
откуда 
Складывая это с исходным уравнением, находим 
Значит, A кратно 5. Возьмем 
тогда 
и 
Значит, можно, например, взять числа 491 (5 раз) и 515 (один раз).в) Пусть сумма новых чисел равна N, тогда аналогично получаем 
и 
поэтому 
кратно 99, значит, и N кратно 99. Пусть 
тогда 
откуда 
и 
Сумма новых чисел должна быть как можно меньше, то есть ее разность с изначальной суммой — как можно больше. Итак, 
должно быть как можно больше, следовательно, x — как можно меньше. Пример для 
уже построен в пункте б).
Уравнение 
можно переписать в виде
откуда 
кратно 10. Тогда 
также кратно 10, откуда 
(поскольку 
). При этом 
и потому 
значит, 
Пусть 
тогда 
откуда 
и 
Такие числа можно подобрать, например, подойдут 912, 912, 912, 234. Для них сумма новых чисел равна 
Ответ: а) нет; б) да; в) 1089.