В выпуклом четырехугольнике АВСD сторона AB = 5, 
AD = 5.
а) Докажите, что диагональ BD точкой пересечения диагоналей делится пополам.
б) Найдите площадь АВСD, если все отрезки диагоналей, на которые их делит точка пересечения, являются целыми числами.
а) Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Треугольники ABC и ADC равны по трем сторонам. Значит, углы BAC и DAC равны и треугольник BAD — равнобедренный. Луч AO является биссектрисой в равнобедренном треугольнике, значит, он является также медианой и высотой. Значит, отрезки BO и OD равны.
б) Пусть 
и 
Используя теорему Пифагора, получим систему:
Числа z и y — целые, поэтому 
и
Из первой системы 
и 
тогда система (*) не имеет решений. Из второй системы 
и 
откуда 
Площадь четырехугольника ABCD равна
Ответ: б) 36.