ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 678384 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение $a в квадрате минус ax минус 2x в квадрате минус 0,5x минус 2a плюс |a плюс 2,5x| = 0$ имеет ровно три различных корня.

Спрятать решение

Решение.

Умножим обе части уравнения на 2, получим:

$2a в квадрате минус 2ax минус 4x в квадрате минус x минус 4a плюс \abs2a плюс 5x = 0.$

Положим $t = 5x плюс 2a,$ тогда $x = дробь: числитель: t минус 2a, знаменатель: 5 конец дроби ,$ причем каждому значению x соответствует ровно одно значение t и наоборот. Уравнение примет вид:

$2a в квадрате минус 2a умножить на дробь: числитель: t минус 2a, знаменатель: 5 конец дроби минус 4 умножить на дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 2a правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 25 конец дроби минус дробь: числитель: t минус 2a, знаменатель: 5 конец дроби минус 4a плюс \abst = 0 равносильно$
$равносильно 50a в квадрате минус 10a левая круглая скобка t минус 2a правая круглая скобка минус 4 левая круглая скобка t в квадрате минус 4at плюс 4a в квадрате правая круглая скобка минус 5 левая круглая скобка t минус 2a правая круглая скобка минус 100a плюс 25 \abst = 0 равносильно$
$равносильно 50a в квадрате минус 10at плюс 20a в квадрате минус 4t в квадрате плюс 16at минус 16a в квадрате минус 5t плюс 10a минус 100a плюс 25 \abst = 0 равносильно$
$равносильно 4t в квадрате минус 6at плюс 5t минус 54a в квадрате плюс 90a минус 25 \abst = 0.$

Это уравнение должно иметь ровно три корня. При $t меньше 0$ имеем:

$4t в квадрате минус 6at плюс 5t минус 54a в квадрате плюс 90a плюс 25t = 0 равносильно 2t в квадрате плюс левая круглая скобка 15 минус 3a правая круглая скобка t плюс левая круглая скобка 45a минус 27a в квадрате правая круглая скобка = 0,$ $4t в квадрате минус 6at плюс 5t минус 54a в квадрате плюс 90a плюс 25t = 0 равносильно$
$равносильно 2t в квадрате плюс левая круглая скобка 15 минус 3a правая круглая скобка t плюс левая круглая скобка 45a минус 27a в квадрате правая круглая скобка = 0,$

при $t больше или равно 0$ имеем:

$4t в квадрате минус 6at плюс 5t минус 54a в квадрате плюс 90a минус 25t = 0 равносильно 2t в квадрате минус левая круглая скобка 10 плюс 3a правая круглая скобка t плюс левая круглая скобка 45a минус 27a в квадрате правая круглая скобка = 0.$ $4t в квадрате минус 6at плюс 5t минус 54a в квадрате плюс 90a минус 25t = 0 равносильно$
$равносильно 2t в квадрате минус левая круглая скобка 10 плюс 3a правая круглая скобка t плюс левая круглая скобка 45a минус 27a в квадрате правая круглая скобка = 0.$

В одном случае мы должны получить два корня на соответствующем промежутке t, в другом  — один. В обоих случаях дискриминанты должны быть неотрицательны. Вычислим их:

$D_1 = левая круглая скобка 15 минус 3a правая круглая скобка в квадрате минус 8 левая круглая скобка 45a минус 27a в квадрате правая круглая скобка = 225 минус 90a плюс 9a в квадрате минус 360a плюс 216a в квадрате =$
$= 225a в квадрате минус 450a плюс 225 = 225 левая круглая скобка a в квадрате минус 2a плюс 1 правая круглая скобка = 225 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате .$ $D_1 = левая круглая скобка 15 минус 3a правая круглая скобка в квадрате минус 8 левая круглая скобка 45a минус 27a в квадрате правая круглая скобка =$
$= 225 минус 90a плюс 9a в квадрате минус 360a плюс 216a в квадрате = 225a в квадрате минус 450a плюс 225 =$
$= 225 левая круглая скобка a в квадрате минус 2a плюс 1 правая круглая скобка = 225 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате .$ $D_1 = левая круглая скобка 15 минус 3a правая круглая скобка в квадрате минус 8 левая круглая скобка 45a минус 27a в квадрате правая круглая скобка =$
$= 225 минус 90a плюс 9a в квадрате минус 360a плюс 216a в квадрате =$
$= 225a в квадрате минус 450a плюс 225 =$
$= 225 левая круглая скобка a в квадрате минус 2a плюс 1 правая круглая скобка = 225 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате .$

В этом случае $t = дробь: числитель: минус 15 плюс 3a \pm 15 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби ,$ откуда: $t_1 = минус 3a,$ $t_2 = дробь: числитель: 9a минус 15, знаменатель: 2 конец дроби .$

Для второго уравнения получим:

$D_2 = левая круглая скобка 10 плюс 3a правая круглая скобка в квадрате минус 8 левая круглая скобка 45a минус 27a в квадрате правая круглая скобка = 100 плюс 60a плюс 9a в квадрате минус 360a плюс 216a в квадрате =$
$= 225a в квадрате минус 300a плюс 100 = 25 левая круглая скобка 9a в квадрате минус 12a плюс 4 правая круглая скобка = 25 левая круглая скобка 3a минус 2 правая круглая скобка в квадрате .$ $D_2 = левая круглая скобка 10 плюс 3a правая круглая скобка в квадрате минус 8 левая круглая скобка 45a минус 27a в квадрате правая круглая скобка =$
$= 100 плюс 60a плюс 9a в квадрате минус 360a плюс 216a в квадрате = 225a в квадрате минус 300a плюс 100 =$
$= 25 левая круглая скобка 9a в квадрате минус 12a плюс 4 правая круглая скобка = 25 левая круглая скобка 3a минус 2 правая круглая скобка в квадрате .$ $D_2 = левая круглая скобка 10 плюс 3a правая круглая скобка в квадрате минус 8 левая круглая скобка 45a минус 27a в квадрате правая круглая скобка =$
$= 100 плюс 60a плюс 9a в квадрате минус 360a плюс 216a в квадрате =$
$= 225a в квадрате минус 300a плюс 100 =$
$= 25 левая круглая скобка 9a в квадрате минус 12a плюс 4 правая круглая скобка = 25 левая круглая скобка 3a минус 2 правая круглая скобка в квадрате .$

Тогда $t = дробь: числитель: 10 плюс 3a \pm 5 левая круглая скобка 3a минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби ,$ откуда $t_3 = дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби a,$ $t_4 = 5 минус 3a.$

Запишем условия на знаки. Сразу заметим, что $t_1 = минус 3a меньше 0,$ а $t_3 = дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби a больше или равно 0.$ При любом $a не равно 0$ будут выполнены либо оба этих условия, либо ни одного. Корни $t_2 = дробь: числитель: 9a минус 15, знаменатель: 2 конец дроби$ и $t_4 = 5 минус 3a$ так же отличаются знаком, и потому при $a не равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби$ подойдут либо оба корня, либо ни одного. Значит, во всех случаях, кроме $a = 0$ и $a = дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ,$ число корней четно. Осталось проверить эти значения.

При $a = 0$ имеем: $t_1 больше или равно 0,$ $t_2 меньше 0,$ $t_3 меньше или равно 0,$ $t_4 меньше или равно 0.$ Уравнение имеет три корня.

При $a = дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби$ имеем: $t_1 меньше 0,$ остальные корни неотрицательны, уравнение имеет три корня.

Рассмотрим случаи совпадения корней. Корни разных уравнений совпасть не могут, корни одного уравнения могут совпасть, если $D = 0.$ Значит, требуется проверить $a = 1$ и $a = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

При $a = 1:$ $t_1 = t_2 = минус 3 меньше 0,$ $t_3 = дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби больше 0,$ $t_4 = 2 больше 0$   — три корня.

При $a = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби :$ $t_1 = минус 2 меньше 0,$ $t_2 = минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби меньше 0,$ $t_3 = t_4 = 3 больше 0$   — три корня.

Ответ: $a = 0;$ $a = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ;$ $a = 1;$ $a = дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 501

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром, Модуль числа, модуль выражения

Методы алгебры: Введение замены, Перебор случаев

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь