PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Внешний угол CBD (при вершине В) равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ равен 126°. Найдите величину угла А треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.
Даны векторы 
и 
Найдите длину вектора 
Куб описан около сферы радиусом 6,5. Найдите объём куба.
В классе 21 обучающийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Учащихся случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе.
Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Найдите корень уравнения 
Найдите значение выражения 
Прямая 
является касательной к графику функции 
Найдите абсциссу точки касания.
Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью 
м/с под острым углом 
к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью 
(м/с), где 
кг — масса скейтбордиста со скейтом, а 
кг — масса платформы. Под каким максимальным углом (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,4 м/с?
Заказ на изготовление 130 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем второй рабочий. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на 3 детали больше, чем второй?
На рисунке изображён график функции 
Найдите значение x, при котором 
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В пирамиде SABC боковые рёбра SA, SB и SC попарно перпендикулярны, а 
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах SA и SC отмечены точки К и М соответственно, причём 
Найдите расстояние от вершины S пирамиды до плоскости BKM.
Решите неравенство 
По бизнес-плану для реализации нового проекта в июле 2025 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1680 тыс. руб. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2026, 2027 и 2028 годов долг остаётся равным 1680 тыс. руб.;
— платежи в 2029 и 2030 годах равны;
— к июлю 2030 года кредит должен быть выплачен полностью.
Найдите общую сумму платежей за пять лет.
Точка О — центр описанной окружности около остроугольного треугольника АВС. На луче АО за точкой О выбрана точка Р так, что 
а) Докажите, что 
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ОРС, если BC = 72, 
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 
имеет три различных корня.
Юра и Полина играют в игру с числами. Юра придумывает трёхзначное число и находит сумму его цифр. Полина вычитает из придуманного Юрой числа найденную сумму цифр и делит полученную разность на 3.
а) Могло ли у Полины получиться число 111?
6) Могло ли у Полины получиться число 121?
в) Сколько всего различных чисел может получиться у Полины, если Юра будет придумывать числа от 100 до 600 включительно?
Треугольник ABC — равнобедренный, углы при его основании равны. Значит, 
и 
Найдите длину вектора 
Выбрать пару «Андрей и Сергей» и поместить их в одну из двух групп можно 
способами. Добавить в эту группу еще 11 из оставшихся 24 учащихся можно 
способами. Поэтому вероятность того, что мальчики окажутся в одной группе, равна 
Если Андрей уже находится в первой группе, то вероятность того, что Сергей окажется в этой же группе, равна 
Поскольку обе группы равноправны, вероятность того, что друзья окажутся в одной группе, равна
Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что мальчики окажутся в одной группе, равна 1 − 0,52 = 0,48.
является касательной к графику функции 
Найдите абсциссу точки касания.
:
Проверка показывает, что число −1 ему удовлетворяет, а число 
— нет.
и прямой 
задаётся системой уравнений:
на интервале 
при заданных значениях массы скейтбордиста 
кг и массы платформы 
деталь. На изготовление 110 деталей первый рабочий тратит на 1 час меньше, чем второй рабочий, отсюда имеем:
значит, 
Учитывая, что 
и 
найдём a:
Решим уравнение 
Уравнение 
не имеет решений, производная отрицательна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является убывающей. Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является 
Получаем числа 
и 
то есть боковые ребра пирамиды равны, а в ее основании лежит правильный треугольник. Такая пирамида называется правильной.
Из условия 
Тогда 
По теореме Пифагора в треугольнике BKM:
Следовательно,
то есть 
тогда:
а x тыс. руб. — платежи 2029 и 2030 годов. В июле 2026, 2027, 2028 годов долг перед банком не меняется, а ежегодные выплаты составляют 
тыс. руб. В январе 2029 года долг (в тыс. руб.) будет равен 1680k, а в июле — 1680k – x. В январе 2030 года долг будет равен 
а в июле — 
По условию к июлю 2030 года долг должен быть выплачен полностью, значит:
то есть:
тыс. руб.
тогда 
как центральный угол. Отрезки BO и OC равны как радиусы. Следовательно, в равнобедренном треугольнике OBC:
тогда
имеет три различных корня тогда и только тогда, когда горизонтальная прямая 
имеет с графиком функции 
кратно трем, поэтому не может быть равным 121.
поэтому оно может быть кратно 11, только если равно нулю, то есть при y = b, а тогда и a = x. Значит, все числа 
дают различные результаты. Этих 